Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid

flamey

Kan iemand me helpen bij het volgende probleemstuk?

Bereken de positie van het massamiddelpunt van een staaf met

lengte L, waarvan de dichtheid lineair toeneemt met de afstand tot een van de

uiteinden.

Ik loop hier voornamelijk vast vanwege het feit dat er dichtheid staat en niet massa...

In de uitwerking staat dat

dM=ldx

waarbij l de dichtheid voorstelt. Ik zou zeggen dM=lAdx

waarbij A de oppervlakte is van de doorsnee van de staaf. Hier zit eigenlijk mijn enige probleem....

Rov

De massa is uniform over de oppervlakte verdeeld, alleen lineair over de lengte.

Omdat de massadichtheid lineair stijgt zal de massadichtheid op plaats x gelijk zijn aan lx. Dit noemt men de lineaire massadichtheid, geef die als symbool \( \lambda\). Dan is \(\lambda = lx\).

Als we de staaf in kleine segmentjes met lengte dx indelen dan is de massa van dat deeltje

\(dm = \lambda dx = lxdx\)

Je weet dat het massacentrum gegeven is door

\(x_c = \frac{1}{M} \int^L_0 xdm = \frac{1}{M} \int^L_0 lx^2dx\)

Akkoord?

aadkr

\(\rho_x=K x +\rho_0\)

\(dm=\rho_x A dx\)

\(dm=( Kx+\rho_0 ) A dx\)

\(m=\int_{x=0}^{x=L} (Kx+\rho_0) A dx \)

\(m=A ( \frac{1}{2} K L^2 + \rho_0 L )\)

\(\int_{x=0}^{x=L} x dm=x_C A (\frac{1}{2} K L^2+\rho_0 L)\)

\(\int x dm=A (Kx+\rho_0) x dx=\frac{1}{3}AKL^3+\frac{1}{2}A\rho_0 L^2\)

\(m_c=\frac{\frac{1}{3}KL+\frac{1}{2} \rho_0}{\frac{1}{2} K+\frac{\rho_0}{L}}\)

flamey

Ik snap het nog steeds niet helemaal.... massa=dichtheid*volume. Maar jij zegt dat de massa gelijk is aan: dichtheid*lengte (dm=labda*dx) Het is me dus nog niet helemaal duidelijk:P. Wat is bovendien l. Een willekeurige constante?

Rov

\(dm=\rho_x A dx\)

Dit kan toch nooit kloppen, als ik puur naar de dimensie kijk:

\(kg \neq \frac{kg}{m²}m² \cdot m = kg \cdot m\)

flamey

wil niet veel zeggen hoor, maar dichtheid is: kg/m^3

Zou je trouwens je uitleg nog willen toelichten? (zie eerdere post)

Wouter_Masselink

Dit topic wordt gesloten omdat er geen [vakgebied] tag is toegevoegd.

-slotje-

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid

Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid

Re: Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid

Re: Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid

Re: Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid

Re: Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid

Re: Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid

Re: Massamiddelpunt staaf met toenemende dichtheid