[Wiskunde] Buigpunt

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 267

[Wiskunde] Buigpunt

Ik moet het buigpunt berekenen van
\(f(x) = (x + 1)(\ln{2x})\)
. Een buigpunt is waar de tweede afgeleide 0 is en van teken wisselt (klopt dat?).
\(f'(x) = \ln{2x} + (x + 1)\frac{2}{2x} = \ln{2x} + \frac{x + 1}{x} \)
\(f''(x) = \frac{2}{2x} + \frac{x - (x + 1)}{x^2} = \frac{2}{2x} - \frac{1}{x^2}\)
\(\frac{2}{2x} - \frac{1}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Dan kijk ik naar beide zijden van
\(x = 1\)
, bijvoorbeeld
\(f''(0,9) \approx{-0,123}\)
en
\(f''(1,1) \approx{0,08}\)
dus in
\(x = 1\)
lijkt de grafiek van teken te veranderen.

Invullen in de oorspronkelijke vergelijking geeft
\(f(1) = 2\ln{2}\)
. Heb ik zo het buigpunt gevonden?
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [Wiskunde] Buigpunt

ja, normaal wel
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 267

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Is dit dan ook een goede algemene manier om buigpunten te vinden of werkt het hier gewoon toevallig?
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Uiteraard, de nulpunten van de eerste afgeleiden zijn de extrema, de nulpunten van de tweede afgeleide de buigpunten.

Gebruikersavatar
Berichten: 267

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Dank voor jullie hulp.
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Uiteraard, de nulpunten van de eerste afgeleiden zijn de extrema, de nulpunten van de tweede afgeleide de buigpunten.
Dat klopt niet.

Beschouw f(x) = x^3. Van de eerste afgeleide is x = 0 een nulpunt, maar dit is geen extremum.

Beschouw f(x) = x^4. Van de tweede afgeleide is x = 0 een nulpunt, maar dit is geen buigpunt.

De voorwaarden die je geeft zijn nodige voorwaarden (indien f er (2x) afleidbaar is), geen voldoende.
Is dit dan ook een goede algemene manier om buigpunten te vinden of werkt het hier gewoon toevallig?
Het is goed, je kan (zoals jij doet) naar het tekenverloop kijken, of je kan de derde afgeleide gebruiken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 599

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Als de derde afgeleide ongelijk aan nul is op de plaats waar de tweede afgeleide wel nul is, dan is er een buigpunt.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Dat klopt (als f''' bestaat), maar enkel in die richting; dus buigpunt wil niet zeggen dat de derde afgeleide verschilt van 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: [Wiskunde] Buigpunt

TD! schreef:Beschouw f(x) = x^3. Van de eerste afgeleide is x = 0 een nulpunt, maar dit is geen extremum.

Beschouw f(x) = x^4. Van de tweede afgeleide is x = 0 een nulpunt, maar dit is geen buigpunt.
Raar, ondanks dat het zo'n "basisch" functie is was het me nog nooit opgevallen. Is er ook een verklaring ofzo voor?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Raar, ondanks dat het zo'n "basisch" functie is was het me nog nooit opgevallen. Is er ook een verklaring ofzo voor?
Leuk, functies die "basisch" kunnen zijn, misschien ook "zuur" ? :)

De verklaring is eigenlijk al gegeven: bij een buigpunt moet de tweede afgeleide van teken wisselen, bij een nulpunt wissel je niet noodzakelijk van teken (vb: f(x) = x²). Omgekeerd: als je van teken wisselt, ga je wel door 0 (indien de functie continu is), dus buigpunt => f" = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Leuk, functies die "basisch" kunnen zijn, misschien ook "zuur" ? :)
:)
De verklaring is eigenlijk al gegeven: bij een buigpunt moet de tweede afgeleide van teken wisselen, bij een nulpunt wissel je niet noodzakelijk van teken (vb: f(x) = x²). Omgekeerd: als je van teken wisselt, ga je wel door 0 (indien de functie continu is), dus buigpunt => f" = 0.
Leuk, was me nooit opgevallen.

Dus een buigpunt wil zeggen f"=0 maar f"=0 wil niet (per sé) zeggen buigpunt.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.810

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Idd, het zegt gewoon dat er een verticale raaklijn is. Maar je kan ook verticale raaklijnen krijgen in punten die geen buigpunten zijn (vooral in niet continue functies, etc)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Dus een buigpunt wil zeggen f"=0 maar f"=0 wil niet (per sé) zeggen buigpunt.
Klopt, als de functie er twee keer afleidbaar is.

Cycloon: verticale raaklijnen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 4.810

Re: [Wiskunde] Buigpunt

In het punt waar de tweede afgeleide 0 is heb je toch gewoon een verticale raaklijn als het een buigpunt is?

(Ow nu zie ik de verwarring, daar staat een klepper van een typfout hierboven :) , als er geen verticale raaklijn dan is er geen buigpunt natuurlijk :) )

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Buigpunt

Ik volg nog altijd niet. Bij f(x) = x³ is de tweede afgeleide 0 in x = 0, er is een buigpunt in x = 0 maar de raaklijn is er horizontaal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer