Invullen in de oorspronkelijke vergelijking geeft
[Wiskunde] Buigpunt
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 267
[Wiskunde] Buigpunt
Ik moet het buigpunt berekenen van
Invullen in de oorspronkelijke vergelijking geeft
\(f(x) = (x + 1)(\ln{2x})\)
. Een buigpunt is waar de tweede afgeleide 0 is en van teken wisselt (klopt dat?). \(f'(x) = \ln{2x} + (x + 1)\frac{2}{2x} = \ln{2x} + \frac{x + 1}{x} \)
\(f''(x) = \frac{2}{2x} + \frac{x - (x + 1)}{x^2} = \frac{2}{2x} - \frac{1}{x^2}\)
\(\frac{2}{2x} - \frac{1}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Dan kijk ik naar beide zijden van \(x = 1\)
, bijvoorbeeld \(f''(0,9) \approx{-0,123}\)
en \(f''(1,1) \approx{0,08}\)
dus in \(x = 1\)
lijkt de grafiek van teken te veranderen.Invullen in de oorspronkelijke vergelijking geeft
\(f(1) = 2\ln{2}\)
. Heb ik zo het buigpunt gevonden?There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.
- Berichten: 6.905
Re: [Wiskunde] Buigpunt
ja, normaal wel
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
- Berichten: 267
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Is dit dan ook een goede algemene manier om buigpunten te vinden of werkt het hier gewoon toevallig?
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.
- Berichten: 2.242
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Uiteraard, de nulpunten van de eerste afgeleiden zijn de extrema, de nulpunten van de tweede afgeleide de buigpunten.
- Berichten: 267
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Dank voor jullie hulp.
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Dat klopt niet.Uiteraard, de nulpunten van de eerste afgeleiden zijn de extrema, de nulpunten van de tweede afgeleide de buigpunten.
Beschouw f(x) = x^3. Van de eerste afgeleide is x = 0 een nulpunt, maar dit is geen extremum.
Beschouw f(x) = x^4. Van de tweede afgeleide is x = 0 een nulpunt, maar dit is geen buigpunt.
De voorwaarden die je geeft zijn nodige voorwaarden (indien f er (2x) afleidbaar is), geen voldoende.
Het is goed, je kan (zoals jij doet) naar het tekenverloop kijken, of je kan de derde afgeleide gebruiken.Is dit dan ook een goede algemene manier om buigpunten te vinden of werkt het hier gewoon toevallig?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 599
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Als de derde afgeleide ongelijk aan nul is op de plaats waar de tweede afgeleide wel nul is, dan is er een buigpunt.
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Dat klopt (als f''' bestaat), maar enkel in die richting; dus buigpunt wil niet zeggen dat de derde afgeleide verschilt van 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 2.242
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Raar, ondanks dat het zo'n "basisch" functie is was het me nog nooit opgevallen. Is er ook een verklaring ofzo voor?TD! schreef:Beschouw f(x) = x^3. Van de eerste afgeleide is x = 0 een nulpunt, maar dit is geen extremum.
Beschouw f(x) = x^4. Van de tweede afgeleide is x = 0 een nulpunt, maar dit is geen buigpunt.
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Leuk, functies die "basisch" kunnen zijn, misschien ook "zuur" ?Raar, ondanks dat het zo'n "basisch" functie is was het me nog nooit opgevallen. Is er ook een verklaring ofzo voor?
De verklaring is eigenlijk al gegeven: bij een buigpunt moet de tweede afgeleide van teken wisselen, bij een nulpunt wissel je niet noodzakelijk van teken (vb: f(x) = x²). Omgekeerd: als je van teken wisselt, ga je wel door 0 (indien de functie continu is), dus buigpunt => f" = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 2.242
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Leuk, functies die "basisch" kunnen zijn, misschien ook "zuur" ?
Leuk, was me nooit opgevallen.De verklaring is eigenlijk al gegeven: bij een buigpunt moet de tweede afgeleide van teken wisselen, bij een nulpunt wissel je niet noodzakelijk van teken (vb: f(x) = x²). Omgekeerd: als je van teken wisselt, ga je wel door 0 (indien de functie continu is), dus buigpunt => f" = 0.
Dus een buigpunt wil zeggen f"=0 maar f"=0 wil niet (per sé) zeggen buigpunt.
- Berichten: 4.810
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Idd, het zegt gewoon dat er een verticale raaklijn is. Maar je kan ook verticale raaklijnen krijgen in punten die geen buigpunten zijn (vooral in niet continue functies, etc)
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Klopt, als de functie er twee keer afleidbaar is.Dus een buigpunt wil zeggen f"=0 maar f"=0 wil niet (per sé) zeggen buigpunt.
Cycloon: verticale raaklijnen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 4.810
Re: [Wiskunde] Buigpunt
In het punt waar de tweede afgeleide 0 is heb je toch gewoon een verticale raaklijn als het een buigpunt is?
(Ow nu zie ik de verwarring, daar staat een klepper van een typfout hierboven , als er geen verticale raaklijn dan is er geen buigpunt natuurlijk )
(Ow nu zie ik de verwarring, daar staat een klepper van een typfout hierboven , als er geen verticale raaklijn dan is er geen buigpunt natuurlijk )
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Buigpunt
Ik volg nog altijd niet. Bij f(x) = x³ is de tweede afgeleide 0 in x = 0, er is een buigpunt in x = 0 maar de raaklijn is er horizontaal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)