sinus en cosinus

Charl

in een uitleg van een som (differentieren) komt het volgende voor:

sin(x)²-sin(x)²=cos(2x)

ik snap niet hoe men hier aan komt. kan iemand uitleggen hoe je sin en cos met elkaar optelt of aftrekt?

uit deze som kwam t trouwens:

f(x) = x12 cos(x)sin(x)

(x12, bedoel ik mee: x tot de macht 12, maar weet niet hoe ik dit fatsoenlijk moet typen...)

Gevraagd: Bepaal f '(x).[/tex]

TD

De verdubbelingsformules van sinus en cosinus volgen uit de formules voor een som van hoeken:

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b \Rightarrow \cos \left( {2a} \right) = \cos ^2 a - \sin ^2 a\)

Met de som-formule van de sinus kan je zo ook aantonen: sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Die afleiding doe je één keer (of je weet waar het vandaan komt) en dan gebruik je ze 'zonder nadenken' als standaardformules om van een dubbele hoek over te gaan naar de halve hoek.

Charl

oei, daar was ik al bang voor, ik denk dat jullie denkniveau wat betreft wiskunde een stuk hoger en sneller ligt dan de mijne.

de som-formule ken ik (lees: ik heb m hier voor me op een blaadje), maar die formule gaat over het optellen van hoeken: hoek a en b. Ik weet dat sin cos altijd over hoeken gaan, maar ik snap nog niet wat dat met mijn vraag te maken heeft. bij: sin(x)²-sin(x)²=cos(2x) staat er eigenlijk toch

sin(x maal x) - cos (x maal x) = cos(2x) dan tel je toch geen twee hoeken op?

kortom: ik snap m nog steeds niet...

TD

Nee, sin²(x) = (sin(x))² = sin(x).sin(x); wat jij zegt (sin(x.x)) is sin(x²).

Er geldt voor de som van hoeken: cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b).

Ken je die formule? Stel a = b, dan vind je: cos(2a) = cos²(a)-sin²(a).

Charl

hmm, ik dacht dat ik t differentieren al een beetje onder de knie kreeg... maar ik zal even de hele som kopieren, met uitleg, en aangeven van waar ik t niet meer snap:

f(x) = x¹²cos(x)sin(x)

Gevraagd: Bepaal f '(x).

alles snap ik, behalve het laatste stukje, komt ie:

f '(x) = x¹²(cos(x)cos(x) + sin(x)(- sin(x)) + cos(x) sin(x)12x¹¹

f '(x) =(cos(x)²-sin(x) ²)x¹² +12cos(x)sin(x) x¹¹

f '(x) =cos(2x)x¹²+12cos(x)sin(x)x¹¹

in de voorlaatste regel zit mijn, vraag, want die wordt herleidt naar de laatste regel...

TD

Je vergeet de x^12 bij de tweede term van je eerste afgeleide, maar dat komt daarna weer goed. Dus:

\(\begin{array}{l} x^{12} \cos x\cos x + x^{12} \sin x\left( { - \sin x} \right) + 12x^{11} \cos x\sin x x^{12} \left( {\cos x\cos x - \sin x\sin x} \right) + 12x^{11} \cos x\sin x x^{12} \left( {\cos ^2 x - \sin ^2 x} \right) + 12x^{11} \cos x\sin x x^{12} \cos 2x + 12x^{11} \cos x\sin x \end{array}\)

Enkel de eerste stap (van f(x) naar f(x)' met de productregel) is differentiëren, daarna is het gewoon vereenvoudigen.

In de voorlaatste stap breng je de gemeenschappelijke factor x^12 van de eerste twee termen buiten haakjes.

In de laatste stap gebruiken ze precies de verdubbelingsformule cos(2x) = cos²x-sin²x om te vereenvoudigen.

Waar die vandaan komt heb ik je uitgelegd, je kan het aantonen met behulp vande formule voor cos(a+b).

Charl

na een nachtje slapen snap ik m helemaal, het staat in je antwoord, alleen snapte ik t niet: cos(a=b), waar bij a=b, dat is dus in deze som a=(x) en a=b. alles is (x)

lekker!

bedankt.

TD

Klopt, in de formule voor de som van hoeken gebruikte ik a en b opdat je niet dacht dat het iets met je x te maken had [rr]

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

sinus en cosinus

sinus en cosinus

Re: sinus en cosinus

Re: sinus en cosinus

Re: sinus en cosinus

Re: sinus en cosinus

Re: sinus en cosinus

Re: sinus en cosinus

Re: sinus en cosinus