[wiskunde] raakvlak

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 25-01-'07, 17:07

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

[wiskunde] raakvlak

Compute the tangent plane at (1,0,1) for
\(f(x,y,z)=xe^{(-x^2-y^2-z^2)}\)
Eerder heb ik al de gradient bepaald:
\(\nabla f=((2x+1)e^{(-x^2-y^2-z^2)},-2xye^{(-x^2-y^2-z^2)},-2xze^{(-x^2-y^2-z^2)})\)
De standaard formule voor de lineaire benadering, dus ook voor de 'tangent plane' in het punt (x0,y0), voor een functie f:R^2->R is:
\(z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}_{{(x_0,y_0)}} (x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}_{(x_0,y_0)} (y-y_0)\)
Maar hoe doe ik dit voor een functie R^3->R, zoals bovenstaand voorbeeld?

Gewoon
\(+\frac{\partial f}{\partial z}_{(x_0,y_0,z_0)} (z-z_0)\)
erbij optellen?

Nog een vraagje:
\(\mbox{Su\ppose }f:R^\nrightarrow R^m \mbox{ is a l\inear map. W\hat is de derivative of f?}\)
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 19:08

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] raakvlak

De formule die jij geeft is van toepassing als de kromme gegeven is als z = f(x,y).

Soms kan je niet oplossen naar z, in het algemeen heb je f(x,y,z)=0, raakvlak is dan:
\(\frac{\partial f}{\partial x}_{{(x_0,y_0,z_0)}} (x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}_{(x_0,y_0,z_0)} (y-y_0)+\frac{\partial f}{\partial z}_{(x_0,y_0,z_0)} (z-z_0) = 0\)
Voor de afgeleide van een functie van meerdere veranderlijken, zie hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 19:31

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] raakvlak

Ah, bedankt. Kun je dit dan even controleren:
\(\mbox{Laat S het o\ppervlak zijn dat gegeven wordt door }\)
\(x^2+3y^2=z^4=5\mbox{ .Bepaal de vergelijk\ing van het raakvlak aan S \in het punt (1,-1,1).}\)
\(\nabla f_{(1,-1,1)}=(2,-6,4)\)
\((2,-6,4)\cdot(x-1,y+1,z-1)=0\)
\(2x-6y+4z=12\)
oftewel
\(x-3y+2z=6\)


En weet je hoe ik mijn laatste vraag in mijn eerste post kan oplossen?
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 20:03

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] raakvlak

\(x^2+3y^2=z^4=5\)
Moet die eerste = een + zijn?
En weet je hoe ik mijn laatste vraag in mijn eerste post kan oplossen?
Welke vraag? Voor die afgeleide, zie de link die ik gaf...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 20:44

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] raakvlak

Moet die eerste = een + zijn?
Excuses, inderdaad.
Welke vraag? Voor die afgeleide, zie de link die ik gaf...
Ja, de vraag
\(\mbox{Su\ppose }f:R^\nrightarrow R^m \mbox{ is a l\inear map. W\hat is de derivative of f?}\)
Ik word niet helemaal wijs uit je link m.b.t. deze vraag.

Wat is precies een 'linear map' ?

Hoe kan ik een afgeleide bepalen als ik niet weet hoe de functie eruit ziet?

f' zal niet het antwoord zijn hoop k [rr]
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 20:52

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] raakvlak

De vergelijking van het raakvlak is goed.

Je kan geen afgeleide expliciet bepalen, zonder dat je weet van welke functie.

Ik vermoed dat ze vragen naar hoe je de afgeleide van een f:R^n-R^m zou definiëren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 21:05

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] raakvlak

De vergelijking van het raakvlak is goed.
Bedankt.
Je kan geen afgeleide expliciet bepalen, zonder dat je weet van welke functie.

Ik vermoed dat ze vragen naar hoe je de afgeleide van een f:R^n-R^m zou definiëren.
Dan beschouw ik de vraag als niet relevant. Tenminste, op het tentamen verwacht ik niet een dergelijke vraag.

Misschien vragen ze naar de 'matrix of partial derivatives'. De daarvoor behandelde theorie gaat namelijk onder andere daarover. Maar zonder functie is dat nogal makkelijk. Dan zou het een m x n matrix zijn. Ach, ik vergeet de vraag.

Als ik nog wat vragen (veelal ter controle) wil plaatsen die over calculus gaan, maar niet per sé over differentiatie en dergelijke (maar ook dubbele, triple integralen, vector velden, enz.), moet ik dan telkens een nieuw topic starten, of kan ik beter hier verder gaan? Ik ben namelijk aan het leren voor mijn tentamen maandag, en kom af en toe wat moeilijkere vragen tegen.
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 21:08

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] raakvlak

Als het over aanverwante opgaven gaat, kan je het hierbij plaatsen - nieuw topic mag ook.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 22:55

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] raakvlak

equation of plane tangent to
\(x^2+2y^2+3xz=10\)
at (1,2,1/3):
\(f(x,y,z)=x^2+2y^2+3xz\)
\(\nabla f=(2x+3z,4y,3x)\)
is (3,8,3) in het punt (1,2,1/3).
\(\nabla f(1,2,\frac{1}{3})\cdot (x-1,y-2,z-\frac{1}{3})=0\)
\(3x+8y+3z=20\)
Het gaat me eigenlijk alleen om de stap
\(\nabla f=(2x+3z,4y,3x)\)
is (3,8,3) in het punt (1,2,1/3).

Klopt het dat ik, als ik de gradient in (1,2,1/3) wil bekijken, ik dan x=1, y=2, z=1/3 in moet vullen in de gradient?

Of moet ik 1 invullen in (2x+3z) voor x en z, 2 invullen in 4y en 1/3 invullen in 3x?

Beetje domme vraag misschien, ik denk dat ik het zo goed doe. Bevestiging?
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 23:01

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] raakvlak

Nog een laatste vraag over tangent planes:
\(y^2-x^2=3\)
at the point (1,2,8).

Hoezo 8? Hoezo een punt in R^3?

Ik zou zeggen
\(f(x,y)=y^2-x^2\)
\(\nabla f(1,2)=(-2,4)\)
\((-2,4)\cdot(x-1,y-2)=0)\)
\(x+2y=5\)
Maar ik ben dus een beetje verward door het punt (1,2,8)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 23:02

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] raakvlak

Klopt het dat ik, als ik de gradient in (1,2,1/3) wil bekijken, ik dan x=1, y=2, z=1/3 in moet vullen in de gradient?
Dit klopt, de gradiënt is er dus (3,8,3). Je evalueert het in een punt, met gegeven x-, y- en z-coördinaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 23:03

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] raakvlak

Phys schreef:Nog een laatste vraag over tangent planes:
\(y^2-x^2=3\)
at the point (1,2,8).

Hoezo 8? Hoezo een punt in R^3?
Het feit dat ze een punt in R³ geven, duidt erop dat je in R³ moet werken, de gradiënt is dus (-2x,2y,0).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 23:21

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] raakvlak

Dus ik moet er eigenlijk van maken
\(y^2-x^2+0z=3\)
in het punt (1,2,8)
\(f(x,y,z)=y^2-x^2+0z\)
\(\nabla f(1,2,8)=(-2,4,0)\)
\((-2,4,0)\cdot(x-1,y-2,z)=0\)
\(x+2y+0z=5\)
Maar het de vergelijking van het raakvlak blijft dus
\(x+2y=5\)
Of moet de
\(0z\)
erin blijven om aan te geven dat het om 3 dimensies gaat?

//edit: en het getal 8 is hier dus niet relevant, had net zo goed 4 kunnen zijn, de uitkomst niet beïnvloedend, right?
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 23:28

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] raakvlak

Dat valt natuurlijk weg, 0z = 0 :) Die 8 maakt inderdaad niet uit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 25-01-'07, 23:33

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: [wiskunde] raakvlak

Ik blijf je bedanken, het is me weer volledig duidelijk :)
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”