Springen naar inhoud

Vakverdieping: groepen enz


  • Log in om te kunnen reageren

#1

mo≤

    mo≤


  • >250 berichten
  • 436 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2007 - 20:47

Ik heb een engelse cursus gevonden voor mijn vakverdieping en daarin stonden oefingen in die ik niet begrijp. Kan iemand een goede uitleg geven ?

1. Let alpha be the map of the complex plane defined by x alpha =ax+b, where a and b are given complex numbers and a (niet)=1. Obtain a formula voor alpha^n, where n is a positive intiger, and show that alpha is of finite order if and only if a is a root of unity.

2. If each of the elements a, b and ab is of order2, prove that a and b commute.
Is dit gwn ab*ab=ab dus a en b zijn elkaars inversen zodat ze commutatief zijn ?
Zoja waarom is dan apart gegeven dat a en b orde 2 hebben :s

3.Prove that ab en ba have the same order.
Als 2 bewezen is, wil zeggen dat ab=ba en dat is een element van de groep.

4.If ba=a^m*b^n, prove that the elements a^m*b^(n-2), a^(m-2)*b^n, and ab^(-1) have the same order.

5. If b^-1ab=a^k, prove that b^-r*a^s*b^r=a^(sk^®).
We weten dat ab commutatief is dus a=a^k ==> k=1.
Dus a^s=a^s

6. Let x be an element of order mn, where (m,n)=1. Prove that x can be expressed in the form x=yz, where y and z commute and are of orders m and n respectively.

7.Prove that a group of even order contains and odd number of elements of order 2.

Een hele waslijst. :)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2007 - 20:54

"ab is of order 2" betekent: ab*ab = 1.

In het algemeen: x is van orde n wil zeggen: x^n = 1 waarbij n het kleinste gehele getal is waarvoor dit geldt.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#3

nitrobeem

    nitrobeem


  • >25 berichten
  • 33 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2007 - 21:22

Enkele die ik op zicht zie, kga nog eens kijken op de rest:

2. abab=e=aa => bab=a => bbab = ba => ab=ba

3. Stel LaTeX , dan is LaTeX , en dan b rechts schrappen.

7. Leg een bijectie aan van G naar G die elk element afbeeldt op zijn invers. Elementen die een verschillend element als inverse hebben komen in paren voor (want LaTeX is a), dus zijn er een even aantal elementen waarvoor geldt dat LaTeX , maar het eenheidselement heeft orde 1, dus die moet weg => oneven.

#4

nitrobeem

    nitrobeem


  • >25 berichten
  • 33 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 januari 2007 - 21:46

4. Uit het gegeven weet je dat LaTeX . Stel LaTeX , dan is LaTeX , dus LaTeX , of nog, de orde van die laatste is kleiner of gelijk aan de orde van de eerste. Door de rollen om te wisselen bewijs je de gelijkheid. Analoog voor dien anderen.

5. Eerst LaTeX . Nu kan je LaTeX schrijven als LaTeX , dus kan je s keer heel dat ding toepassen.

6. We hebben dat LaTeX . Nu bestaat er volgens een of andere stelling (Stelling van Bťzout) een k en l zodanig dat LaTeX . Dit maakt dat LaTeX . Te bewijzen is nu nog dat deze 2 ordes n resp. m hebben. Stel dat dat niet zo is, dan moet hun orde dus kleiner zijn (want LaTeX ). Dit wil dus zeggen dat er een p strikt kleiner dan n bestaat zodat LaTeX , dus moet k een echte deler zijn van n, wat niet kan door km+ln= 1. (mooie vraag!)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures