Springen naar inhoud

[Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed coŽfficiŽnten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

maia

    maia


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 januari 2007 - 23:32

Dit is de vraag:

Onderzoek hoe het aantal oplossingen van de vergelijking ax≥ + bx≤ +cx = 0 afhangt van de coŽfficiŽnten a, b, en c.

Hoe moet je dat onderzoeken? Grafieken tekenen en dan conclusies trekken? Ik heb uitgerekend dat ik dan 27 grafieken moet tekenen. Dat lijkt me nogal omslachtig.
Ik had al bedacht dat b geen invloed heeft op het aantal oplossing als a>0 en c>0.
Ik dacht dat het iets te maken heeft met translaties (vermenigvuldiging tov de y-as), maar ik loop vast.

Hoe moet ik dit aanpakken? Is hier een formule voor?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 januari 2007 - 23:35

Er is een gemeenschappelijke factor x (of vergeet je een constante term "d"?):

LaTeX

Dus: x = 0 is sowieso een oplossing en een kwadratische vergelijking, die ken je wellicht.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

maia

    maia


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 januari 2007 - 23:45

Dus het aantal oplossing hangt af van a, b en c hetzelfde als bij een tweedegraads vergelijking + 1 oplossing?

Dus er is altijd minstens 1 oplossing, en maximaal 3 oplossingen (want bij tweedegraads krijg je er niet meer dan 2).

Nou moet ik uitzoeken hoe de oplossingen van een ax^2+bx+c afhangen van de coŽfficienten..

Bedankt! (ben ik op de goede weg?)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 januari 2007 - 23:47

En volgens mij weet je dat al van een kwadratische vergelijking, denk eens aan de "discriminant"...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

maia

    maia


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2007 - 00:15

ax^3+bx^2+cx=0
x(ax^2+bx+c)=0

Je hebt minstens 1 oplossing, nl. x=0.

ax^2+bx+c=0

D<0 geen oplossingen
D=0 1 oplossing
D>0 twee oplossingen

Als b verandert van positief naar negatief of andersom heeft het geen effect op het aantal oplossingen, want de y verandert niet.

Verander je c, heeft het wel effect, want als de top van een bergparabool onder de x-as ligt en je verandert c van negatief naar positief, verandert het aantal oplossingen. (andersom ook: dalparabool, boven de x-as, c van positief naar negatief).

Verander je negatieve a naar positief verander je de grafiek van een berg naar een dalparabool (en andersom). Dat heeft invloed op het aantal oplossingen, als c ongelijk is aan 0.

Moet ik hier nog voorbeeldgrafieken bij zetten? En ik volg zo mijn eigen logica eigenlijk niet, als ik het zo doorlees. Wat moet ik er nog bij zetten (wat doe ik volkomen fout?)

#6

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 00:21

even opletten wel. c is niet de top of het dal van je parabool als b verschillend is van 0.
discriminant van de vergelijking is b≤-4ac. als deze groter is dan 0 heb je 3 oplossingen, is deze kleiner dan 0 heb je er maar 1. als de discriminant =0 heb je 2 oplossingen, waarvan 1 oplossing ontaard is. merk dus op dat c van teken doen omwisselen niet per se impliceert dat het aantal oplossingen verandert. als b≤>|4ac| heeft dit geen effect op het aantal oplossingen.

#7

maia

    maia


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2007 - 00:39

even opletten wel. c is niet de top of het dal van je parabool als b verschillend is van 0.
discriminant van de vergelijking is b≤-4ac. als deze groter is dan 0 heb je 3 oplossingen, is deze kleiner dan 0 heb je er maar 1. als de discriminant =0 heb je 2 oplossingen, waarvan 1 oplossing ontaard is. merk dus op dat c van teken doen omwisselen niet per se impliceert dat het aantal oplossingen verandert. als b≤>|4ac| heeft dit geen effect op het aantal oplossingen.


dat met die reŽle getallen snap ik niet. waarom is dat zo: b≤>|4ac| ?
ik heb dat nog niet gehad. kun je daar de achtergrond van vertellen?

als je c van teken doet omwisselen verandert de plaats van de top wel, translatie. als je c verandert, verandert y. als je positieve y negatief maakt, krijg je een negatieve top.

#8

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 01:01

een tekening zegt vaak meer dan een theoretische uitleg. dit is de grafiek van de functie x≤+3x+1.
Geplaatste afbeelding
en dit is de grafiek van de functie x≤+3x-1.
Geplaatste afbeelding
je hebt dus wel een translatie maar dat verandert niets aan het aantal oplossingen. er zijn er in die laatste dus nog steeds 2, merk nu pas dat een snijpunt buiten de tekening valt.
Het is trouwens nogal gek om je met derdegraadsvergelijkingen bezig te houden als je tweedegraadsvergelijkingen niet kan oplossen. kijk bijvoorbeeld hier

het is dus niet altijd zo dat b≤>|4ac|
wat ik zeg is dat ALS het zo is, dat dan omwisselen van het teken van a of c het aantal oplossingen niet verandert

#9

maia

    maia


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2007 - 01:12

je hebt dus wel een translatie maar dat verandert niets aan het aantal oplossingen. er zijn er in die laatste dus nog steeds 2, merk nu pas dat een snijpunt buiten de tekening valt.  
Het is trouwens nogal gek om je met derdegraadsvergelijkingen bezig te houden als je tweedegraadsvergelijkingen niet kan oplossen. kijk bijvoorbeeld hier

het is dus niet altijd zo dat b≤>|4ac|
wat ik zeg is dat ALS het zo is, dat dan omwisselen van het teken van a of c niet per se het aantal oplossingen verandert


Je hebt gelijk, sorry. Ik kan niet scannen, want de scanner is kapot.

Ik kan tot nu wel tweedegraadsvergelijkingen oplossen, met de abc-formule enzo.




als b≤>|4ac|, dan D>0

maar wat heeft dan geen invloed? b?

#10

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 02:15

wat ik bedoel is het volgende.

beschouw a,b,c. als D=b≤-4ac>0, dan zijn er 2 oplossingen van de tweedegraadsvergelijking, en dus 3 oplossingen van de derdegraadsvergelijking. Dit beantwoord volledig wat je oorspronkelijk vroeg

Nu ben je blijkbaar geÔnteresseert in wat er gebeurt als c (of a) van teken verandert. Laat ons dat dan bekijken. als b≤>|4ac|, en laat c (voor a is de redenering dezelfde) van teken veranderen:c'=-c. nu geldt dat 4ac'LaTeX |4ac'|, dus -4ac'LaTeX -|4ac'|=-|4ac|, zodat b≤-4ac'LaTeX b≤-|4ac|>0. Dus, als b≤>|4ac|, dan blijft het aantal oplossingen onveranderd wanneer we c (of a) van teken veranderen. En nu mag jij eens als oefening uitpluizen dat als b≤<|4ac|, dat het aantal oplossingen daardoor wel verandert (dus dat de discriminant negatief wordt)

hint: een eenvoudige manier om dat uit te pluizen: splits de gevallen (D>0 en D<0) op, en kijk eens naar het teken van 4ac.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures