Dit is de vraag:
Onderzoek hoe het aantal oplossingen van de vergelijking ax³ + bx² +cx = 0 afhangt van de coëfficiënten a, b, en c.
Hoe moet je dat onderzoeken? Grafieken tekenen en dan conclusies trekken? Ik heb uitgerekend dat ik dan 27 grafieken moet tekenen. Dat lijkt me nogal omslachtig.
Ik had al bedacht dat b geen invloed heeft op het aantal oplossing als a>0 en c>0.
Ik dacht dat het iets te maken heeft met translaties (vermenigvuldiging tov de y-as), maar ik loop vast.
Hoe moet ik dit aanpakken? Is hier een formule voor?
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed coëfficiënten
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
Er is een gemeenschappelijke factor x (of vergeet je een constante term "d"?):
\(ax^3 + bx^2 + cx = 0 \Leftrightarrow x\left( {ax^2 + bx + c} \right) = 0\)
Dus: x = 0 is sowieso een oplossing en een kwadratische vergelijking, die ken je wellicht."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 6
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
Dus het aantal oplossing hangt af van a, b en c hetzelfde als bij een tweedegraads vergelijking + 1 oplossing?
Dus er is altijd minstens 1 oplossing, en maximaal 3 oplossingen (want bij tweedegraads krijg je er niet meer dan 2).
Nou moet ik uitzoeken hoe de oplossingen van een ax^2+bx+c afhangen van de coëfficienten..
Bedankt! (ben ik op de goede weg?)
Dus er is altijd minstens 1 oplossing, en maximaal 3 oplossingen (want bij tweedegraads krijg je er niet meer dan 2).
Nou moet ik uitzoeken hoe de oplossingen van een ax^2+bx+c afhangen van de coëfficienten..
Bedankt! (ben ik op de goede weg?)
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
En volgens mij weet je dat al van een kwadratische vergelijking, denk eens aan de "discriminant"...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 6
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
ax^3+bx^2+cx=0
x(ax^2+bx+c)=0
Je hebt minstens 1 oplossing, nl. x=0.
ax^2+bx+c=0
D<0 geen oplossingen
D=0 1 oplossing
D>0 twee oplossingen
Als b verandert van positief naar negatief of andersom heeft het geen effect op het aantal oplossingen, want de y verandert niet.
Verander je c, heeft het wel effect, want als de top van een bergparabool onder de x-as ligt en je verandert c van negatief naar positief, verandert het aantal oplossingen. (andersom ook: dalparabool, boven de x-as, c van positief naar negatief).
Verander je negatieve a naar positief verander je de grafiek van een berg naar een dalparabool (en andersom). Dat heeft invloed op het aantal oplossingen, als c ongelijk is aan 0.
Moet ik hier nog voorbeeldgrafieken bij zetten? En ik volg zo mijn eigen logica eigenlijk niet, als ik het zo doorlees. Wat moet ik er nog bij zetten (wat doe ik volkomen fout?)
x(ax^2+bx+c)=0
Je hebt minstens 1 oplossing, nl. x=0.
ax^2+bx+c=0
D<0 geen oplossingen
D=0 1 oplossing
D>0 twee oplossingen
Als b verandert van positief naar negatief of andersom heeft het geen effect op het aantal oplossingen, want de y verandert niet.
Verander je c, heeft het wel effect, want als de top van een bergparabool onder de x-as ligt en je verandert c van negatief naar positief, verandert het aantal oplossingen. (andersom ook: dalparabool, boven de x-as, c van positief naar negatief).
Verander je negatieve a naar positief verander je de grafiek van een berg naar een dalparabool (en andersom). Dat heeft invloed op het aantal oplossingen, als c ongelijk is aan 0.
Moet ik hier nog voorbeeldgrafieken bij zetten? En ik volg zo mijn eigen logica eigenlijk niet, als ik het zo doorlees. Wat moet ik er nog bij zetten (wat doe ik volkomen fout?)
-
- Berichten: 3.751
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
even opletten wel. c is niet de top of het dal van je parabool als b verschillend is van 0.
discriminant van de vergelijking is b²-4ac. als deze groter is dan 0 heb je 3 oplossingen, is deze kleiner dan 0 heb je er maar 1. als de discriminant =0 heb je 2 oplossingen, waarvan 1 oplossing ontaard is. merk dus op dat c van teken doen omwisselen niet per se impliceert dat het aantal oplossingen verandert. als b²>|4ac| heeft dit geen effect op het aantal oplossingen.
discriminant van de vergelijking is b²-4ac. als deze groter is dan 0 heb je 3 oplossingen, is deze kleiner dan 0 heb je er maar 1. als de discriminant =0 heb je 2 oplossingen, waarvan 1 oplossing ontaard is. merk dus op dat c van teken doen omwisselen niet per se impliceert dat het aantal oplossingen verandert. als b²>|4ac| heeft dit geen effect op het aantal oplossingen.
-
- Berichten: 6
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
dat met die reële getallen snap ik niet. waarom is dat zo: b²>|4ac| ?eendavid schreef:even opletten wel. c is niet de top of het dal van je parabool als b verschillend is van 0.
discriminant van de vergelijking is b²-4ac. als deze groter is dan 0 heb je 3 oplossingen, is deze kleiner dan 0 heb je er maar 1. als de discriminant =0 heb je 2 oplossingen, waarvan 1 oplossing ontaard is. merk dus op dat c van teken doen omwisselen niet per se impliceert dat het aantal oplossingen verandert. als b²>|4ac| heeft dit geen effect op het aantal oplossingen.
ik heb dat nog niet gehad. kun je daar de achtergrond van vertellen?
als je c van teken doet omwisselen verandert de plaats van de top wel, translatie. als je c verandert, verandert y. als je positieve y negatief maakt, krijg je een negatieve top.
-
- Berichten: 3.751
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
een tekening zegt vaak meer dan een theoretische uitleg. dit is de grafiek van de functie x²+3x+1.
en dit is de grafiek van de functie x²+3x-1.
je hebt dus wel een translatie maar dat verandert niets aan het aantal oplossingen. er zijn er in die laatste dus nog steeds 2, merk nu pas dat een snijpunt buiten de tekening valt.
Het is trouwens nogal gek om je met derdegraadsvergelijkingen bezig te houden als je tweedegraadsvergelijkingen niet kan oplossen. kijk bijvoorbeeld hier
het is dus niet altijd zo dat b²>|4ac|
wat ik zeg is dat ALS het zo is, dat dan omwisselen van het teken van a of c het aantal oplossingen niet verandert
en dit is de grafiek van de functie x²+3x-1.
je hebt dus wel een translatie maar dat verandert niets aan het aantal oplossingen. er zijn er in die laatste dus nog steeds 2, merk nu pas dat een snijpunt buiten de tekening valt.
Het is trouwens nogal gek om je met derdegraadsvergelijkingen bezig te houden als je tweedegraadsvergelijkingen niet kan oplossen. kijk bijvoorbeeld hier
het is dus niet altijd zo dat b²>|4ac|
wat ik zeg is dat ALS het zo is, dat dan omwisselen van het teken van a of c het aantal oplossingen niet verandert
-
- Berichten: 6
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
Je hebt gelijk, sorry. Ik kan niet scannen, want de scanner is kapot.eendavid schreef:je hebt dus wel een translatie maar dat verandert niets aan het aantal oplossingen. er zijn er in die laatste dus nog steeds 2, merk nu pas dat een snijpunt buiten de tekening valt.
Het is trouwens nogal gek om je met derdegraadsvergelijkingen bezig te houden als je tweedegraadsvergelijkingen niet kan oplossen. kijk bijvoorbeeld hier
het is dus niet altijd zo dat b²>|4ac|
wat ik zeg is dat ALS het zo is, dat dan omwisselen van het teken van a of c niet per se het aantal oplossingen verandert
Ik kan tot nu wel tweedegraadsvergelijkingen oplossen, met de abc-formule enzo.
als b²>|4ac|, dan D>0
maar wat heeft dan geen invloed? b?
-
- Berichten: 3.751
Re: [Wiskunde] Derdegraadsvergelijking, invloed co
wat ik bedoel is het volgende.
beschouw a,b,c. als D=b²-4ac>0, dan zijn er 2 oplossingen van de tweedegraadsvergelijking, en dus 3 oplossingen van de derdegraadsvergelijking. Dit beantwoord volledig wat je oorspronkelijk vroeg
Nu ben je blijkbaar geïnteresseert in wat er gebeurt als c (of a) van teken verandert. Laat ons dat dan bekijken. als b²>|4ac|, en laat c (voor a is de redenering dezelfde) van teken veranderen:c'=-c. nu geldt dat 4ac'
hint: een eenvoudige manier om dat uit te pluizen: splits de gevallen (D>0 en D<0) op, en kijk eens naar het teken van 4ac.
beschouw a,b,c. als D=b²-4ac>0, dan zijn er 2 oplossingen van de tweedegraadsvergelijking, en dus 3 oplossingen van de derdegraadsvergelijking. Dit beantwoord volledig wat je oorspronkelijk vroeg
Nu ben je blijkbaar geïnteresseert in wat er gebeurt als c (of a) van teken verandert. Laat ons dat dan bekijken. als b²>|4ac|, en laat c (voor a is de redenering dezelfde) van teken veranderen:c'=-c. nu geldt dat 4ac'
\(\leq\)
|4ac'|, dus -4ac'\(\geq\)
-|4ac'|=-|4ac|, zodat b²-4ac'\(\geq\)
b²-|4ac|>0. Dus, als b²>|4ac|, dan blijft het aantal oplossingen onveranderd wanneer we c (of a) van teken veranderen. En nu mag jij eens als oefening uitpluizen dat als b²<|4ac|, dat het aantal oplossingen daardoor wel verandert (dus dat de discriminant negatief wordt)hint: een eenvoudige manier om dat uit te pluizen: splits de gevallen (D>0 en D<0) op, en kijk eens naar het teken van 4ac.
