Springen naar inhoud

Grondtal e


  • Log in om te kunnen reageren

#1

PdeJongh

    PdeJongh


  • >1k berichten
  • 2005 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 21:25

Leonhard Euler heeft het grondtal LaTeX ingevoerd.

Hierbij gebruikte hij de volgende formule:
LaTeX

Wat ik me afvraag, hoe is hij ooit op het idee gekomen om deze getallen te gebruiken? Op Wikipedia kan ik ook niet echt een antwoord vinden, of kijk ik er overheen?
...verhit de dichloormono-oxide tot 277 graden Celcius en geniet van het effect...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 21:36

De letter 'e' komt in elk geval van Euler, maar ben je zeker dat hij dit getal zo gedefinieerd heeft?
Er zijn andere definities mogelijk en volgens mathworld was Newton de eerste die deze reeks gebruikte als definitie (in een publicatie).
Heb je op de Nederlandstalige wiki gekeken? Op de Engelse wiki staat een stukje over de geschiedenis.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

PdeJongh

    PdeJongh


  • >1k berichten
  • 2005 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 21:50

Dat was inderdaad de Nederlandse Wiki waar ik heb gekeken.
Alleen bij de historie staat o.a. dit: LaTeX
Alleen limieten heb ik nog niet gehad bij wiskunde, dus dit zegt mij niet zo heel veel ben ik bang...
...verhit de dichloormono-oxide tot 277 graden Celcius en geniet van het effect...

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 21:52

Dat is een andere definitie. Je hebt limieten misschien nog niet echt behandeld, maar die andere definitie (de oneindige som) is in feite ook een limiet :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

PdeJongh

    PdeJongh


  • >1k berichten
  • 2005 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 21:59

Dit is de andere definitie:
Geplaatste afbeelding
Ik ben alleen bang dat we de dingen boven, onder en naast het somteken ook nog niet hebben gehad. Ik weet wel dat de scheve 8 staat voor oneindig, maar waarom alles zo staat enzo, zegt mij compleet niks
...verhit de dichloormono-oxide tot 277 graden Celcius en geniet van het effect...

#6

gast004

    gast004


  • >250 berichten
  • 314 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2007 - 22:05

Die sigma is een sommatieteken. n is een variabele waarde die gaat van 0 tot oneindig (natuurlijke getallen). Telkens moet je die n-waarde invullen in de uitdrukking die na het sommatieteken komt en zo bekom je alle termen van de som.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 januari 2007 - 22:47

Voor uitleg over die notatie voor een som, zie ook hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Isaac Newton

    Isaac Newton


  • >100 berichten
  • 137 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:22

Dit is de andere definitie:
Geplaatste afbeelding
Ik ben alleen bang dat we de dingen boven, onder en naast het somteken ook nog niet hebben gehad. Ik weet wel dat de scheve 8 staat voor oneindig, maar waarom alles zo staat enzo, zegt mij compleet niks

Hier staat eigenlijk het getal 'n' bij de 0 begint en je oneindig lang door moet tellen. Het vertelt ook dat je bij elke 'n' die je hebt het door 1 moet delen. Nog iets belangrijks: misschien denk je dat 1/0! niet klopt omdat je niet door 0 kunt delen, maar 0! = 1. Ik hoop dat je het nu begrijpt.

PS: als ik iets fout vertel wil iemand me dan aub corrigeren?

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:27

Het vertelt ook dat je bij elke 'n' die je hebt het door 1 moet delen.
(...)
PS: als ik iets fout vertel wil iemand me dan aub corrigeren?

Wat bedoel je met telkens door 1 delen? Je moet voor elke n, 1/n! doen en optellen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Isaac Newton

    Isaac Newton


  • >100 berichten
  • 137 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:28

Dat was ik vergeten erbij te zetten. Sorry. Dat optellen is logisch, omdat het een som is. Daarom schreef ik dŠt niet op.

#11

PdeJongh

    PdeJongh


  • >1k berichten
  • 2005 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2007 - 16:25

Ik snap nu in ieder geval de berekening. Dat is al iets :)
Dan snap ik die pagina op wikipedia waarschijnlijk ook beter, en kom ik er hopelijk achter hoe Euler op het idee is gekomen om deze berekening te maken
...verhit de dichloormono-oxide tot 277 graden Celcius en geniet van het effect...

#12

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 februari 2007 - 17:13

Het binomium van Newton
LaTeX
LaTeX
Voor n nadert naar oneindig geldt dan:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Als n nadert tot oneindig , dan worden de termen:
LaTeX
enzovoort gelijk aan 1
Dus:
LaTeX

#13

A.Square

    A.Square


  • >250 berichten
  • 251 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2007 - 21:59

Dat was inderdaad de Nederlandse Wiki waar ik heb gekeken.  
Alleen bij de historie staat o.a. dit: LaTeX


Alleen limieten heb ik nog niet gehad bij wiskunde, dus dit zegt mij niet zo heel veel ben ik bang...


De definitie van limiet is in feite eenvoudiger dan die van oneindige som. De limiet zegt wat er met de termen gebeurt als variabele erg, heel erg, groot (en nog groter dan dat) wordt.

Je hoeft dus alleen op die enkele 'laatste' uitdrukking te letten. In tegenstelling tot de som, waar je ook nog alle voorgaande termen erbij moet optellen.

(wiskundigen poepen mij uit voor de volgende regel, maar het maakt het idee duidelijk):
LaTeX

#14

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2007 - 11:43

Ik snap nu in ieder geval de berekening. Dat is al iets :)  
Dan snap ik die pagina op wikipedia waarschijnlijk ook beter, en kom ik er hopelijk achter hoe Euler op het idee is gekomen om deze berekening te maken

Ik betwijfel of precies bekend is hoe Euler tot zijn definitie kwam, want de meeste artikelen over (om het even welke) wiskundige ontdekking geven alleen maar een deductieve afleidingen en maar zelden een verslag van de veel interessantere ontdekkingsreis die tot deze ontdekking heeft geleid, maar het zou zo gegaan kunnen zijn:

Differentiaalrekening was nog redelijk nieuw en het ligt voor de hand om te kijken of je een functie f(x) kunt vinden met de eigenschap dat hij f'(x)=f(x). Nu is vrij gemakkelijk af te leiden dat dat iets van de vorm Bax moet zijn omdat dat als afgeleide BCax heeft waarbij de constante C wordt bepaald door de keuze van a. Niet zo gemakkelijk is af te leiden wat je voor a moet kiezen om te zorgen dat C=1.
Euler hield zich ook veel met reeksen bezig en zal waarschijnlijk al snel gezien hebben dat voor de functie g(x) met:

LaTeX

geldt dat g'(x)=g(x) (dat is eenvoudig in te zien, probeer maar).

Afgezien van de (niet belangrijke) constante B is dit de gezochte exponentiŽle functie f(x) die daarmee ook nog een definitie voor e oplevert door x=1 te kiezen.

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 04 februari 2007 - 12:52

Dat was inderdaad de Nederlandse Wiki waar ik heb gekeken.  
Alleen bij de historie staat o.a. dit: LaTeX


Alleen limieten heb ik nog niet gehad bij wiskunde, dus dit zegt mij niet zo heel veel ben ik bang...

Een gezonde manier om het getal e te introduceren (zonder limieten) is als volgt:
Teken de grafiek van y = 1/x en de 2 vertikale lijnen x=1 en x=a. Zie tekening.
Geplaatste afbeelding
De oppervlakte van het blauwe gebied is 1 als de rechter vertikale lijn ligt bij x=e !!!

Dit is de manier waarop in sommige leerboeken het getal e wordt vastgelegd.

De oplossing van LaTeX wordt geschreven als LaTeX
en in het algemeen: De oplossing van LaTeX wordt geschreven als LaTeX
Je kunt met bovenstaande definitie van e aantonen dat,
als je de grafiek van y=1/x spiegelt in de lijn y=x dan ontstaat de grafiek met vergelijking LaTeX

Het getal 2,7182818... dook zo vaak op dat men voor dat getal een aparte letter heeft bedacht, de letter e.

Het getal e duikt b.v. op in de volgende situaties:
1.) Houdt een touwtje aan de uiteinden vast. In de vergelijking van de grafiek van het touwtje duikt de letter e op.
2.) Formule voor de continue rentebijschrijving in de bankwereld.
3.) Definitie voor sinus en cosinus (voor gevorderden).
4.) Radioactief verval; groeisnelheid van bacterien.
5.) en hier op het forum





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures