Springen naar inhoud

e^(pi*i) + 1 = 0?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:32

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie :))
LaTeX

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:47

LaTeX

De complexe exponentiŽle functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.
Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Isaac Newton

    Isaac Newton


  • >100 berichten
  • 137 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:50

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie :))
LaTeX

LaTeX . Toch?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:52

LaTeX

. Toch?

Om te beginnen vergeet je de i, maar ook 2pi is helemaal niet "gelijk" aan 6,28.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:52

LaTeX

#6

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:53

LaTeX

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:56

Om PeterPan aan te vullen: omdat exp(z) periodiek is, geldt dus niet meer dat e^z = e^w impliceert z = w.
Wat je eigenlijk doet is zeggen: sin(0) = sin(pi), dus 0 = pi. Uiteraard klopt dat niet, maar voor reŽle x in exp(x) wel.
Dat komt omdat de inverse (ln(x)) een bijectie is, terwijl dat bgsin(x) en ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:56

De complexe exponentiŽle functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.
Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.

Daar had ik nog niet aan gedacht, inderdaad...

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie :?:)
LaTeX

LaTeX . Toch?

Ja, ongeveer, maar dat is mijn punt niet. Die eerste regel staat bekend als Euler's identiteit (http://en.wikipedia....uler's_identity), met e en pi gekende constanten en i gedifinieerd als :)(-1). Met mijn minibewijsje (waarvan ik wel al door had dat er een fout in zat) probeerde ik te laten zien dat de identiteit fout was.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2007 - 14:59

en i gedifinieerd als :)(-1).

Hiermee toch voorzichtig zijn, sommigen vinden dat (terecht) vreselijk als 'definitie' :?:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:01

LaTeX is toch de definitie? niet dat ik snap waarom deze beter is maarja

#11

Isaac Newton

    Isaac Newton


  • >100 berichten
  • 137 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:04

De complexe exponentiŽle functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.
Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.

Daar had ik nog niet aan gedacht, inderdaad...

Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie :))
LaTeX

LaTeX . Toch?

Ja, ongeveer, maar dat is mijn punt niet. Die eerste regel staat bekend als Euler's identiteit (http://en.wikipedia....uler's_identity), met e en pi gekende constanten en i gedifinieerd als :?:(-1). Met mijn minibewijsje (waarvan ik wel al door had dat er een fout in zat) probeerde ik te laten zien dat de identiteit fout was.

Okť. :) Sorry, ik ben een noob. Let maar niet op mij.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:04

LaTeX

is toch de definitie? niet dat ik snap waarom deze beter is maarja

Als je het netjes wil doen, kan je complexe getallen invoeren als geordende paren van reŽle getallen.
Je definieert daar een gelijkheid, som en vermenigvuldiging op die, zo gekozen, leveren dat (0,1)*(0,1) = (-1,0).
Je identificeert getallen (a,0) met het reŽle getal a en definieert i = (0,1), de imaginaire eenheid.

Je kan dan elk complex getal (a,b) schrijven als (a,0)+b(0,1) = a+bi en rekenen zoals je gewoon bent, met i≤ = -1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:09

Dat komt omdat de inverse (ln(x)) een bijectie is, terwijl dat bgsin(x) en ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig zijn.

Dat ken ik niet, wat wil dat zeggen, meerwaardige functies? Dat je er een veelvoud van iets bij kan optellen zonder iets te veranderen, zoals sin(x) = sin(x + 2pi) = sin(x + 4pi) = ...?

Pff, te zware stof voor net vakantie te hebben :).

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:13

Omdat sin(0) = sin(4pi) = 0, geldt dat bgsin(0) zowel 0 als 4pi kan zijn (enz). Het is dan ook niet echt een "functie", aangezien bij ťťn argument, meerdere beelden horen. Wat je bijvoorbeeld doet om van bgsin(x) een functie te maken, is het bereik beperken (soms genoteerd: Bgsin(x)).

Aangezien exp(z) voor z complex periodisch is, zoals sin(x), is ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 februari 2007 - 15:23

Het is dan ook niet echt een "functie", aangezien bij ťťn argument, meerdere beelden horen.

Maakt toch niets uit? Een functie is toch gewoon een afbeelding van een verzameling op een andere verzameling. Of die afbeelding sur-, in- of bijectief is doet er toch niet toe?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures