)\( \begin{array}{l} e^{i \pi} + 1 = 0 e^{i \pi} = -1 \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1 e^{2i \pi} = 1 = e^0 2i \pi = 0 \end{array}\)
Laatste berichten
-
15:53
positie
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
11:32
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 6
-
11:31
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 14
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Weerfrustratie 5
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
e^(pi*i) + 1 = 0?
-
- Berichten: 24.578
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
De complexe exponentiële functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.\( \begin{array}{l} \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1 e^{2i \pi} = 1 \end{array}\)
Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 137
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Rov schreef:Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie
\( \begin{array}{l} e^{i \pi} + 1 = 0 e^{i \pi} = -1 \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1 e^{2i \pi} = 1 = e^0 2i \pi = 0 \end{array}\)
\(2i \pi = 6.28 \end{array}\)
. Toch?-
- Berichten: 24.578
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Om te beginnen vergeet je de i, maar ook 2pi is helemaal niet "gelijk" aan 6,28.\(2i \pi = 6.28 \end{array}\). Toch?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
\(1 = e^0 = e^{2\pi i} = e^{4\pi i} = e^{6\pi i} = e^{8\pi i} = \cdots\)
-
- Berichten: 24.578
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Om PeterPan aan te vullen: omdat exp(z) periodiek is, geldt dus niet meer dat e^z = e^w impliceert z = w.
Wat je eigenlijk doet is zeggen: sin(0) = sin(pi), dus 0 = pi. Uiteraard klopt dat niet, maar voor reële x in exp(x) wel.
Dat komt omdat de inverse (ln(x)) een bijectie is, terwijl dat bgsin(x) en ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig zijn.
Wat je eigenlijk doet is zeggen: sin(0) = sin(pi), dus 0 = pi. Uiteraard klopt dat niet, maar voor reële x in exp(x) wel.
Dat komt omdat de inverse (ln(x)) een bijectie is, terwijl dat bgsin(x) en ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.242
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Daar had ik nog niet aan gedacht, inderdaad...TD! schreef:De complexe exponentiële functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.
Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.
Ja, ongeveer, maar dat is mijn punt niet. Die eerste regel staat bekend als Euler's identiteit (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity), met e en pi gekende constanten en i gedifinieerd alsIsaac Newton schreef:Rov schreef:Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie)
\( \begin{array}{l} e^{i \pi} + 1 = 0 e^{i \pi} = -1 \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1 e^{2i \pi} = 1 = e^0 2i \pi = 0 \end{array}\)\(2i \pi = 6.28 \end{array}\). Toch?
(-1). Met mijn minibewijsje (waarvan ik wel al door had dat er een fout in zat) probeerde ik te laten zien dat de identiteit fout was.-
- Berichten: 24.578
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Hiermee toch voorzichtig zijn, sommigen vinden dat (terecht) vreselijk als 'definitie'en i gedifinieerd als
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.003
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
\(i^2=-1\)
is toch de definitie? niet dat ik snap waarom deze beter is maarja-
- Berichten: 137
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Oké.Rov schreef:Daar had ik nog niet aan gedacht, inderdaad...TD! schreef:De complexe exponentiële functie exp(z) is periodisch (periode: 2pi.i), trek 2pi.i van je exponent af en het 'klopt'.
Het gaat dus mis bij die overgang, in het algemeen geldt niet meer: (z^p)^q = z^(pq) voor complexe getallen.
Ja, ongeveer, maar dat is mijn punt niet. Die eerste regel staat bekend als Euler's identiteit (http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity), met e en pi gekende constanten en i gedifinieerd alsIsaac Newton schreef:Rov schreef:Wat doe ik fout? (Of ben ik nu een genie
\( \begin{array}{l} e^{i \pi} + 1 = 0 e^{i \pi} = -1 \left( e^{i \pi} \right)^2 = 1 e^{2i \pi} = 1 = e^0 2i \pi = 0 \end{array}\)\(2i \pi = 6.28 \end{array}\). Toch?
Sorry, ik ben een noob. Let maar niet op mij.-
- Berichten: 24.578
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Als je het netjes wil doen, kan je complexe getallen invoeren als geordende paren van reële getallen.\(i^2=-1\)is toch de definitie? niet dat ik snap waarom deze beter is maarja
Je definieert daar een gelijkheid, som en vermenigvuldiging op die, zo gekozen, leveren dat (0,1)*(0,1) = (-1,0).
Je identificeert getallen (a,0) met het reële getal a en definieert i = (0,1), de imaginaire eenheid.
Je kan dan elk complex getal (a,b) schrijven als (a,0)+b(0,1) = a+bi en rekenen zoals je gewoon bent, met i² = -1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.242
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Dat ken ik niet, wat wil dat zeggen, meerwaardige functies? Dat je er een veelvoud van iets bij kan optellen zonder iets te veranderen, zoals sin(x) = sin(x + 2pi) = sin(x + 4pi) = ...?Dat komt omdat de inverse (ln(x)) een bijectie is, terwijl dat bgsin(x) en ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig zijn.
Pff, te zware stof voor net vakantie te hebben
.-
- Berichten: 24.578
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Omdat sin(0) = sin(4pi) = 0, geldt dat bgsin(0) zowel 0 als 4pi kan zijn (enz). Het is dan ook niet echt een "functie", aangezien bij één argument, meerdere beelden horen. Wat je bijvoorbeeld doet om van bgsin(x) een functie te maken, is het bereik beperken (soms genoteerd: Bgsin(x)).
Aangezien exp(z) voor z complex periodisch is, zoals sin(x), is ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig.
Aangezien exp(z) voor z complex periodisch is, zoals sin(x), is ln(z) (complexe logaritme) meerwaardig.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.242
Re: e^(pi*i) + 1 = 0?
Maakt toch niets uit? Een functie is toch gewoon een afbeelding van een verzameling op een andere verzameling. Of die afbeelding sur-, in- of bijectief is doet er toch niet toe?Het is dan ook niet echt een "functie", aangezien bij één argument, meerdere beelden horen.
