\(f_0(x) = 0\)
en voor n[grotergelijk]0 geldt\(f_{n+1}(x) = \frac{x}{1-x+f_n(x)}\)
Definieer\(f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)\)
Wat is het maximale domein van f; wat zijn de nulpunten, buigpunten, extremen, asymptoten enz. van f?
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
functieonderzoek
functieonderzoek
Wat is het maximale domein van f; wat zijn de nulpunten, buigpunten, extremen, asymptoten enz. van f?
-
- Berichten: 792
Re: functieonderzoek
Limiet in linker en rechterlid nemen van je recursief voorschrift geeft je met een eenvoudige tweedegraadsvergelijking dat de limiet , ALS hij bestaat, -1 of x moet zijn
Vraag is nu : waar bestaat die, en wat is de waarde
?
Mijn gok : niet gedefinieerd in 0 en 1, en
in
Vraag is nu : waar bestaat die, en wat is de waarde
?Mijn gok : niet gedefinieerd in 0 en 1, en
in
\(]-\infty,-1] : -1\)
in \(]-1,1[: x\)
in \(]1,+\infty[ : -1\)
Nu nog dat bewijzen.-
- Berichten: 792
Re: functieonderzoek
Oeps, daar bestaat de limiet inderdaad ook, en is hij nul.Waarom niet gedefinieerd in 0?
Re: functieonderzoek
Hoe je zo iets kunt aanpakken lijkt me wel leerzaam. Daarom een (gedeeltelijk) bewijs.Nu nog dat bewijzen.
Geval 1. -1 < a < 0.
\(x_0 = 0\)
\(x_{n+1} = \frac{a}{1-a+x_n}\)
Ik gebruik hier liever de letter a dan de letter x, omdat x hier een gekozen constante is.Ik wil aantonen dat
\(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)
Schrijf \(x_n = a + y_n\)
Dan is\(y_0 = -a\)
\(y_{n+1} = \frac{-a y_n}{1+y_n}\)
We gingen er van uit dat 0 < -a < 1, dus is \(y_n > 0\)
voor alle n. (Inductief is dat duidelijk).Dan is
\( 0 < y_{n+1} = \frac{-a y_n}{1+y_n} < (-a)y_n < (-a)^2 y_{n-1} < \cdots < (-a)^{n+1}\)
Hieruit volgt onmiddellijk met de insluitingsstelling dat \(\lim_{n \to \infty} y_n = o\)
ofwel \(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)
.Geval 2. 0 < a < 1.
We tekenen de grafiek van
\(y = \frac{a}{1-a+x}\)
De asymptoten zijn x=1-a en y=0.
We zien aan de grafiek dat
\(x_n\)
naar \(a\)
convergeert.-
- Berichten: 792
Re: functieonderzoek
Je bedoelt waarschijnlijk a-1 voor die asymptoot?
Dan nog, hoe zie je dat aan die grafiek?
En wat met de andere gevallen, zo simpel is het helaas toch;
Dan nog, hoe zie je dat aan die grafiek?
En wat met de andere gevallen, zo simpel is het helaas toch;
Re: functieonderzoek
De asymptoot ligt inderdaad bij a-1.evilbu schreef:Je bedoelt waarschijnlijk a-1 voor die asymptoot?
Dan nog, hoe zie je dat aan die grafiek?
Ik heb in de grafiek de y-waarden x1, x2 en x3 getekend.
Zo is x0 = 0 (startwaarde)
\(x_1 = \frac{a}{1-a+x_0}\)
en dus is \((0,x_1)\)
het snijpunt van de grafiek \(y = \frac{a}{1-a+x}\)
met de y-as (zie tekening).\(x_2 = y(x_1)\)
enz.Je ziet een spiraal ontstaan die cirkelt rond het snijpunt van de grafiek met de lijn y=x. Het snijpunt (a,a) wordt steeds dichter benaderd.
Als de richtingscoëfficient van de raaklijn in (a,a) aan de grafiek tussen -1 en 0 ligt ontstaat altijd zo'n spiraalvorm.
Op dezelfde manier.En wat met de andere gevallen?
Schrijf
\(x_n = -1 + y_n\)
dan is \(y_0 = -1\)
en\(y_{n+1} = \frac{y_n}{y_n-a}\)
Als a[kleinergelijk]-1 maak je een afschatting enals a>1 teken je een grafiek van
\(y = \frac{x}{x-a}\)
analoog aan hierboven. Nu krijg je een spiraal die rond de oorsprong draait en er naar toe kringelt.