Springen naar inhoud

Wat is de formule van deze kromme?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vortex29

    Vortex29


  • >250 berichten
  • 683 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 12 januari 2005 - 22:28

Als er oneindig veel rechte lijnen de x-as en y-as snijden op de punten (a,0) en (0,b) en er geldt dat a + b = 1 en elke van die rechte lijnen is een raaklijn van een kromme.

Wat is dan de formule voor de kromme waar a > 0 en b > 0?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 13 januari 2005 - 17:36

Ik krijg em niet 123 helemaal.

Ik begin met dat de lijnen op (a,0) en (0,b) moeten liggen.
Ik noem een rechte die er door heen gaat f(x)=cx+d met c en d te bepalen.
f(0)=b --> d=b
f(a)=0 --> ca+b=0 -->c=-b/a
Dus f(x)=-bx/a+b=b(1-x/a)
b=1-a, dus
f(x)=(1-a)(1-x/a)=1 -x/a -a +x=(1-1/a)x+1-a
Dan moet de primitieve F van f de kromme zijn die je nodig hebt.
F(x)=(1-1/a)/2 * x^2 +(1-a)x + c
Ik zie niet 123 een manier om de c te bepalen.

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2005 - 18:00

Als er oneindig veel rechte lijnen de x-as en y-as snijden op de punten (a,0) en (0,b) en er geldt dat a + b = 1 en elke van die rechte lijnen is een raaklijn van een kromme.

Wat is dan de formule voor de kromme waar a > 0 en b > 0?

Ehm, er gaat toch maar ťťn rechte lijn door (a,0) en (0,b) ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4


  • Gast

Geplaatst op 13 januari 2005 - 18:29

Tenzij je a en b varieert zolang je er maar aan houdt aan a>0,b>0, a+b=1, maar dat begreep ik ook niet helemaal of dat de bedoeling was.

#5

Vortex29

    Vortex29


  • >250 berichten
  • 683 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 13 januari 2005 - 19:39

Ik heb hem al.
f(x) = x - 2x(1/2) + 1

#6


  • Gast

Geplaatst op 13 januari 2005 - 20:49

Vortex, kan je uitleggen hoe je daaraan komt en kan je laten zien of het klopt?

#7

Vortex29

    Vortex29


  • >250 berichten
  • 683 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 13 januari 2005 - 21:07

Alle lijnen van de vorm -(b/a)x + b waarbij a + b = 1, zijn raaklijnen van de kromme f(x) = x - 2x(1/2)+ 1.

Maar dat weet ik niet zeker. En ik weet ook niet meer precies hoe ik aan de formule van de kromme ben gekomen. :shock: Dat is dus nog steeds aan jullie om uit te zoeken.

#8

Slimme Edwin

    Slimme Edwin


  • 0 - 25 berichten
  • 1 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2005 - 18:22

Alle lijnen van de vorm -(b/a)x + b waarbij a + b = 1, zijn raaklijnen van de kromme f(x) = x - 2x(1/2)+ 1.

Maar dat weet ik niet zeker. En ik weet ook niet meer precies hoe ik aan de formule van de kromme ben gekomen.  :shock: Dat is dus nog steeds aan jullie om uit te zoeken.


Dat is niet goed jongeman. Ik zou dat nog maar eens een keer goed narekenen.

#9

Vortex29

    Vortex29


  • >250 berichten
  • 683 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 14 januari 2005 - 18:26

Dat is niet goed jongeman.

Wat klopt hier niet aan dan?

Alle lijnen van de vorm -(b/a)x + b waarbij a + b = 1, zijn raaklijnen van de kromme f(x) = x - 2x(1/2) + 1.

Okť, het geldt niet voor b > 0.

#10


  • Gast

Geplaatst op 14 januari 2005 - 23:40

Ja, het is wel goed! Ik zal het proberen uit te leggen.
Gevraagd wordt een functie, gedefiniŽerd tussen 0 en 1 waarbij de raaklijnen aan de grafiek de x- en y-as snijden in a en b met de eis dat a+b=1, a en b >0. De raaklijnen hebben de gedaante y=-(1-a)/a(x-a).
Stellen we de functie y=f(x) dan moet de verg f(x)=-(1-a)/a(x-a) een dubbele oplossing hebben voor x!!!
Verder moet de y-as (x=0) raaklijn zijn in (0,1) en de x-as (y=0) raaklijn in (1,0). Nu heeft y=√x de y-as als raaklijn in (0,0) en dus heeft y=1-√x de y-as als raaklijn in (0,1). En y=(1-√x)^2 heeft de x-as als raaklijn in (1,0). We gaan nu uit van f(x)=(1-√x)^2 en tonen het volgende aan:
(1-√x)^2=-(1-a)/a(x-a)
1+x-2√x=-1/ax+x+1-a
1/ax-2√x+a=0
a((1/a√x)^2-2*1/a√x+1)=0
a(1/a√x-1)^2=0, er is ťťn snijpunt (raakpunt) in (a^2,(1-a)^2).
f(x)=(1-√x)^2 voldoet aan alle eisen!
Ten overvloede: f(x) is symmetrisch in de lijn y=x. Ga dat na!

#11

Vortex29

    Vortex29


  • >250 berichten
  • 683 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 15 januari 2005 - 00:13

Bedankt voor de uitleg.

Nu weet ik weer wat ik verzonnen had: x(1/2) + y(1/2) = 1. Gewoon een gokje. :shock:

f(x) is symmetrisch in de lijn y=x

Dat kun je al opmaken uit het feit dat a + b = 1.

#12

Vortex29

    Vortex29


  • >250 berichten
  • 683 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 januari 2005 - 19:49

f(x) = x - 2x(1/2)+ 1.

Is dit een parabool?

#13


  • Gast

Geplaatst op 29 januari 2005 - 21:50

Een parabool is de grafiek van een kwadratische functie van de onafh var.
Vb y=x^2, x is de onah var.

In de verg. Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0, krijgen we een parabool als grafiek (van de impliciete functie) als voldaan is aan B^2-AC=0.

Verder krijgen we een parabool als grafiek als de verz van ptn die evenver van een lijn als van een punt (niet op die lijn gelegen) afliggen.
In dit geval heet de lijn de richtlijn en het punt het brandpunt van de parabool.

De functie y=x+2x^(1/2)+1 kunnen we schrijven in de vorm
y-x-1=2x(1/2), kwadrateren geeft
(y-x-1)^2=4x, of
y^2+x^2-2xy-2y-2x+1=4x, of
x^2-2xy+y^2-6x-2y+1=0, dus (zie boven) A=1,B=-1,C=1
dus B^2-AC= (-1)^2-1*1=0!
De grafiek is dus (een deel van) een parabool(!). Waarom een deel van?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures