Wetenschapsforum

Kan iemand mij duidelijk uitleggen wat de methode van Newton-Raphson nu precies is?De uitleg van men leerkracht wiskunde snap ik toch niet hoor!!

In de wiskunde bestaan meerdere manieren voor interpolatie. Interpolatie is dat een functie-verloop voorspelt aan de hand van slechts een aantal punten. Je kan bijv. een functie in kleine stapjes opdelen en dan een rechte lijn trekken (trapezium-, midpuntregel, Simpson etc.).

Ook wil je nulpunten kunnen zoeken: een polynoom kan je beschrijven met zijn nnulpunten: (x-a)(x-b)(x-c) etc.

Newton-Rhapson maakt gebruik van de functiewaare op een vast punt (!) en de afgeleide functiewaarde in datzelfde vaste(!) punt. De verhouding tussen functiewaarde en afgeleide bepaalt je volgende vaste-punt:

x(i+1) = x(i) - f(xi)/f'(xi)

De volgende stap wordt x(i+1) -> x(i) zodat je uiteindelijk N stappen nodig hebt om je nulpunt te vinden: als |x(i+1) - x(i)| heel klein is heb je hem numeriek bepaalt.

Tip: teken een exponentiele functie die door nul gaat, kies een begin-punt ver van je nulpunt en voer de methode handmatig uit. Je ziet dat deze methode rond het nulpunt kwadratisch zal convergeren....

Kan er hier een voorbeeldje bij met een stappenplan?

Kan er hier een voorbeeldje bij met een stappenplan?

---> sorry verkeerd ingelogd

Ik heb deze methode nodig, maar die is me nooit aangeleerd

http://nl.wikipedia.org/wiki/Newton-Raphson

Zie onderaan.

als je het dan nog niet snapt, reply dat ff..

Aha ik snap het denk ik...

Dus in feite is dit vooral een methode om nulpunten te vinden bij afgeleiden? (en daarmee gepaard de raaklijnen)

Nee, het is een methode om de nulpunten van een functie f te vinden, gebruik makend van z'n afgeleide df/dx (omdat de methode met raaklijnen werkt).

Je kan natuurlijk ook nulpunten van de afgeleide functie zoeken met de methode van Newton, maar dan heb je de tweede afgeleide nodig (enzovoort).

Het grote voordeel van deze methode is dat ze erg snel is, het nadeel is dat je telkens de afgeleide in een punt moet hebben...

Ook maar neem nu dat ik een opgave krijg zoals die die ik postte in "is dit correct afgeleid", waar je de raaklijnen moet zoeken en de kromtestraal ook (dus y'' moet je zoiezo)...

dan kan je dus de nulpunten zoeken???? door

x - (y'/y'') =0 ????

Dat zou eigenlijk veel makkelijker kunnen zijn dan wat ik nu deed (verwijst naar m'n laatste post in m'n topic voor afgeleiden)

Ik zal straks even naar je andere topic kijken, maar let wel dat dit een numerieke methode is: je benadert de nulpunten (de benadering wordt beter door steeds meer iteraties te doen). Het is iets wat je typisch door een computer laat doen, niet zelf met de hand. De nulpunten van f(x) = x²-4 ga je toch niet met Newton doen? Die zijn gewoon 2 en -2...

Akkoord...maar bijvoorbeeld euhm...

de spiraal : r = (1/10) e^t ---> voor de Horizontale en verticale raaklijnen is de methode van Newton-Raphson nodig...

Dus dan zoek ik naar een nulpunt door een

de functie af te leiden

een beginwaarde te kiezen

de formule toepas en de beginwaarde erin stop

en steeds de beginwaarde beetje verhogen?

Je moet maar één keer kiezen (namelijk de startwaarde), daarna ga je steeds verder op je vorig resultaat.

Je moet maar één keer kiezen (namelijk de startwaarde), daarna ga je steeds verder op je vorig resultaat.

Dus eigenlijk zeer gelijkaardig met reeksontwikkeling?

Wat bedoel je daar precies mee?

Even snel uitleg proberen geven:

Met de lokale benaderingsstelling kan je een functie benaderen als volgt:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + r(x)(x-a)

(ervan uitgaande dat je met punt a, het punt x wil benaderen)

f(a) is dan de meest eenvoudige benadering nl. een constante functie met waarde f(a)

f(a) + f'(a)(x-a) met de tweede term benaderen we de functie door een rechte (lineaire benadering of benadering van 1e orde) -> dus de raaklijn

R(x) = r(x)(x-a) Dit is de rest term en deze bevat de fout van de benadering tov de echte functie. nu kan je zien dat de fout van 2e orde is : één keer omdat r(x) naar nul gaat en een tweede keer omdat (x-a) naar nul gaat.

Het Algoritme van Newton(-Rapshon) is hier gewoon een toepassing op:

Je kan met de lokale benadering snel nulpunten vinden van een functie. Stel we zoeken nulpunt x: f(x) = 0. We vertrekken van een punt a in de buurt van x. In de benadering gaan we de term r(x)(x-a) verwaarlozen en krijg je dit:

0 = f(x) f(a) + f'(a) + f'(a) (x-a)

Deze formule vormen we even om: x1 = a - Een probleem is dat je die restterm hebt verwaarloosd; dat lost men als volgt op:

De bekomen x1 ligt dicht bij a. Dus gaan we nu x2 opnieuw uitrekenen met de bekomen x1 als a:

x2 = x1 - Dit kan je blijven doen tot: f'(x1,2,3,..) = 0 of tot wanneer uit f(x1,2,3,..) blijkt dat je benadering nauwkeurig genoeg is..

Is het nu wat duidelijker?