Springen naar inhoud

kringintegraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 februari 2007 - 19:02

Ik ben op zoek naar een bewijs / uitleg waarom volgende kringintegraal 0 is als R naar LaTeX gaat:
LaTeX als R LaTeX

waarbij C bestaat uit 1) het lijnstuk gaande van -R tot R (op de 'x-as') en 2) de halve circelomtrek (gelegen in het bovenste gedeelte van het assenkruis) gaande van R tot -R met o als middelpunt, dit doorlopen in tegenwijzerzin;
oef, een tekeningetje zou iets handiger zijn hier...

Alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2007 - 11:39

Ben je zeker dat je 0 moet uitkomen? Je integratiepad bevat een pool, namelijk z = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 februari 2007 - 13:52

Beste,
Ik ben dit onlangs ergens tegengekomen, en ik moet eerlijk toegeven dat het me ook verwonderde. Ik zal het dit weekend eens terug opzoeken...
Ondertussen:
Als de integraal niet 0 is, klopt het dan dat het residue in de pool z=0; gelijk is aan 1?
Dan zou de integraal niet 0 zijn, maar LaTeX ?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 februari 2007 - 13:57

Het residu is inderdaad 1, maar je pad 'omsluit' de pool niet. Je kan er wel een halve cirkel rond trekken waarvan je de straal naar 0 laat gaan om de pool te vermijden - je kan dit zien als een halve omcirkeling van de pool, dus je moet het residu delen door 2. Afhankelijk van de doorloopzin krijg je dan LaTeX voor dat stukje. Wat wel klopt is dat de integraal over de grote cirkel naar 0 gaat (voor R naar oneindig).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 februari 2007 - 17:57

Het ging inderdaad niet over een kringintegraal, maar over een lijnintegraal:

ik ben dus op zoek naar een bewijs waarom volgende lijnintegraal 0 is als R naarLaTeX gaat :
LaTeX
waarbij C dus de halve cirkelboog is, gelegen in het bovenste gedeelte van het assenkruis, gaande van +R tot -R, beiden gelegen op de reŽle as.
Zover geraak ik:
ik vervang:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
De lijnintegraal wordt dan een gewone integraal voor LaTeX gaande van 0 tot LaTeX
en dan?
Ik weet dat LaTeX
maar dat helpt me niet erg veel vooruit?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 februari 2007 - 20:26

We willen de integraal (in absolute waarde) afschatten om te tonen dat het naar 0 gaat:

LaTeX

Overgaan op de parametrisatie van de cirkel:

LaTeX

LaTeX

Dus:

LaTeX

In de middelste uitdrukking kan je al aanvoelen dat die exponentiŽle naar 0 gaat voor R naar oneindig.
Maar, we mogen limieten niet zomaar verwisselen, de laatste overgang is voor volgend trucje:
Tussen 0 en pi/2 is sin(t) :) t/2, dus we kunnen dit weer afschatten en expliciet uitrekenen:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 februari 2007 - 11:10

De integraal is duidelijk nu.
Een kleine opmerking: Ik heb wel een vermoeden dat je in volgende regel R vergeten bent:
LaTeX
Moet het niet zijn:
LaTeX
verderop komt de R dan terug weer, zodat alles klopt.

Tot slot nog deze vraag ivm je opmerking:
"je kan dit zien als een halve omcirkeling van de pool, dus je moet het residu delen door 2"
Dit was mij volkomen vreemd. Ik vind er ook elders nergens iets over. Kan je mij hieromtrent wat meer info geven, of een link waar dit te vinden is?
Bedankt.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2007 - 12:23

Die R mocht daar inderdaad niet wegvallen, in de integraal verderop schreef ik'em wel weer.

Dat trucje met die halve omcirkeling kwam ik ooit ergens tegen, maar vraag me niet waar en ook niet om een formeel bewijs [rr]

Als je die stap daardoor niet echt waterdicht vindt, kan je die halve omcirkeling wel expliciet uitrekenen.
Neem een halve cirkel C met straal r (wijzerszin) rond O en laat r vervolgens naar 0 gaan:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2007 - 12:42

Dat trucje met die halve omcirkeling kwam ik ooit ergens tegen, maar vraag me niet waar en ook niet om een formeel bewijs [rr]

Bij mij werd dit de kleine limietstelling genoemd. Google levert niet veel op... Alleszins, intuÔtief: residus gedragen zich in hun omgeving isotroop (anders zou de limiet niet bestaan), en dus moet de integraal bij omcirkeling evenredig zijn met de booghoek.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2007 - 12:46

Ook hier wordt het aangehaald (p27 onderaan), zonder bewijs.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 februari 2007 - 12:58

eigenlijk, dit volgt toch op exact dezelfde manier als de gewone formule?

Kijk hier naar formule (144) en hoe daar de gewone formule (145) uit volgt. Bij ons is exact dezelfde redering het formeel bewijs.

#12

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2007 - 22:46

Ik denk dat op deze site het bewijs van de 'halve' omcirkeling te vinden is
(betreffende de polen gelegen op de x-as, ze noemen het hier 'indented contours')

http://math.fullerto...tourLemma.1.pdf

Ik moet wel toegeven dat ik het bewijs niet echt kan volgen, misschien kan u mij een beetje op weg zetten met de eerste overgangen, dan puzzel ik wel verder tot ik het doorheb?

dank

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2007 - 23:43

Wat volg je niet? Uitdrukking (8-23) gebruiken in plaats van f(z) en overgaan op de parametrisatie van de cirkel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Westy

    Westy


  • >250 berichten
  • 578 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 februari 2007 - 11:25

Blijkbaar een slechte dag, vorige keer. Nu snap ik het wel, behalve dan 1 ding:

Waarom in feite al dat gedoe met LaTeX ?
is het niet gewoon zo dat LaTeX van LaTeX gelijk is aan 0 gewoon omwille van de r vooraan die 0 wordt?

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 25 februari 2007 - 11:57

Wat wil je eigenlijk berekenen?
LaTeX ?
In dat geval is het denk ik het eenvoudigst het volgende integratiepad te kiezen (bestaande uit voornamelijk lijnstukken):
[r,R]*[R,R+iD]*[R+iD,-R+iD]*[-R+iD,-R]*[-R,-r]*F
waarbij F de halve cirkel is om 0 met straal r.
Dan r naar 0 en R naar oneindig.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures