We willen de integraal (in absolute waarde) afschatten om te tonen dat het naar 0 gaat:
\(\int\limits_C {\frac{{e^{iz} }}{z}dz} \to \left| {\int\limits_C {\frac{{e^{iz} }}{z}dz} } \right| le \int\limits_C {\left| {\frac{{e^{iz} }}{z}} \right|dz} = \int\limits_C {\frac{{\left| {e^{iz} } \right|}}{{\left| z \right|}}dz} \)
Overgaan op de parametrisatie van de cirkel:
\(z = \Re^{it} \Rightarrow e^{iz} = e^{i\Re^{it} } = e^{ - \sin t + i\cos t} \Rightarrow \left| {e^{iz} } \right| = e^{ - \sin t} \)
\(dz = Rie^{it} dt \Rightarrow \frac{{dz}}{z} = \frac{{Rie^{it} }}{{\Re^{it} }}dt = idt\)
Dus:
\(\left| {\int\limits_C {\frac{{e^{iz} }}{z}dz} } \right| le \int\limits_0^\pi {e^{ - R\sin t} } dt = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{ - R\sin t} } dt\)
In de middelste uitdrukking kan je al aanvoelen dat die exponentiële naar 0 gaat voor R naar oneindig.
Maar, we mogen limieten niet zomaar verwisselen, de laatste overgang is voor volgend trucje:
Tussen 0 en pi/2 is sin(t)
t/2, dus we kunnen dit weer afschatten en expliciet uitrekenen:
\(\left| {\int\limits_C {\frac{{e^{iz} }}{z}dz} } \right| le 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^{ - \frac{{Rt}}{2}} } dt = \frac{4}{R}\left( {1 - e^{ - \frac{{\pi R}}{4}} } \right)\mathop \to \limits^{R \to \infty } 0\)
