Vectorruimten

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 13-02-'07, 17:08

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Vectorruimten

Hoi,

ik ben momenteel bezig met het onderwerp vectorruimten en ik merk het nu al; dat ligt me niet. Ik zit nog maar enkele pagina's ver en ik geraak al in de problemen.

1) Neem bijvoorbeeld een vectorruimte ( :) , :) ,+), wat moet ik me hierbij voorstellen? Ik denk dat de scalairen (vaak genoteerd als
\(\lambda\)
of
\(\mu\)
) dan een element zijn van :) (omdat er staat ( :D ,...,...)) en dat de vectoren ook elementen zijn van :) (omdat er staat (..., :) ,...)). Volgens mij is deze vectorruimte dus gewoon :) ? En wat doet die + daar?

2)
Zij :) [X]n de verzameling van alle veeltermen in X met graad hoogstends n en met reële coëfficiënten. Dan is ook ( :) , :) [X]n,+) een vectorruimte. Merk op dat de verzameling van de veeltermen met graad precies gelijk aan n geen vectorruimte is. Kun je vaststellen waarom?
Alvast bedankt!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 17:19

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectorruimten

Een niet-lege verzameling V heet een vectorruimte over het veld (lichaam) K als het uitgerust is met twee bewerkingen:

VxV -> V (de optelling)

KxV -> V (de scalaire vermenigvuldiging)

En als er voldaan is aan enkele nodige eigenschappen.

In jouw geval is zowel de verzameling V (met als elementen 'vectoren') R, als het veld K (met als elementen 'scalairen').

Voor je vectorruimte is die optelling inwendig, de som van twee elementen uit V moet weer een element uit V zijn, dus...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 17:23

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Vectorruimten

dus is :) een vectorruimte, ofzo? Ik weet het niet :)
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 17:30

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectorruimten

In dat geval is :) ook de verzameling van je 'vectoren', maar zoals je hierboven kon lezen is er meer nodig om van een 'vectorruimte' te kunnen spreken.

Je hebt bij je verzameling van de vectoren V (hier :) ) ook een veld van scalairen nodig (hier ook :) ) en die twee bewerkingen + eigenschappen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 17:36

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Vectorruimten

En waarvoor staat die '+'?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 17:41

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectorruimten

Daarmee is de bewerking "optelling" aangegeven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 18:08

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Vectorruimten

Beschouw volgende deelverzamelingen van :) ²:
\(U_1={(t,2t)|t\in\rr}, U_2={(t,t^2)|t\in\rr}, U_3={(t,2t+1)|t\in\rr}\)
Toon aan dat:
\(\lambda u+\mu v \in U_1\)
voor alle
\(u,v \in U_1\)
en alle
\(\lambda,\mu \in \rr\)
Toon ook aan dat
\(U_2, U_3\)
deze eigenschap NIET hebben.

Ik heb deze opgave geprobeerd, het resultaat vind je hier.

Klopt dat zo ongeveer?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 18:13

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectorruimten

Ziet er oké uit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 18:20

PeterPan

Re: Vectorruimten

Je kunt veel beter voor de 2 laatste gevallen concrete voorbeelden geven,

b.v.
\((1,1) \in U_2 \mbox{ en } (2,4) \in U_2\)
(t=1 en t=2 ingevuld)

maar (3,5) = 1.(1,1) + 1.(2,4) niet, omdat als t= 3 , dan is t^2 = 9 [ongelijk]5

(Je laatste 2 redeneringen vind ik niet ok)
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 18:46

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Vectorruimten

Dat is inderdaad beter. Kan iemand me trouwens helpen met 2) ?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 19:38

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectorruimten

Voor je vectorruimte is die optelling inwendig, de som van twee elementen uit V moet weer een element uit V zijn, dus...?

Heb je dit over het hoofd gezien of begrijp je het niet? Zoek twee elementen zodat de som niet meer in V zit, contradictie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 21:55

A.Square

Berichten: 251

Re: Vectorruimten

TD! schreef:Een niet-lege verzameling V heet een vectorruimte over het veld (lichaam) K als het uitgerust is met twee bewerkingen:

VxV -> V (de optelling)

KxV -> V (de scalaire vermenigvuldiging)
én als de nulvector er element van is

(hoewel het een punt van discussie is omdat de nulvector uit de twee eerdere axio's te definieren is als 0:=(x)+(-x) voor de geldende regels van optelling en vermenigvuldiging, ik schrijf het er toch maar altijd bij voor de zekerheid)
Omhoog

Bericht 13-02-'07, 22:30

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectorruimten

Niet-leeg impliceert minstens 1 element en als er maar 1 inzit, moet het de nulvector zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-02-'07, 19:01

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Vectorruimten

TD! schreef:Voor je vectorruimte is die optelling inwendig, de som van twee elementen uit V moet weer een element uit V zijn, dus...?

Heb je dit over het hoofd gezien of begrijp je het niet? Zoek twee elementen zodat de som niet meer in V zit, contradictie.
Ik vind er zo geen...

Wanneer je optelt zal de graad toch nooit veranderen? Tenzij het element met de hoogste graad wegvalt door een minteken ofzo, maar dat maakt toch allemaal niet uit? De graad zal toch nooit verhogen, hij kan alleen maar verlagen of gelijk blijven...?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 14-02-'07, 22:39

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Vectorruimten

Stel V = verzameling van de veeltermen met graad precies gelijk aan n

Neem bijvoorbeeld 2 veeltermen met n = 100:

x + x^100

x - x^100

Als V een vectorruimte was dan zou de som van deze twee veeltermen weer in V liggen. (x + x^100) + (x - x^100) = 2x

2x is geen element van V, dus is V geen vectorruimte.

Kan je "bewijzen" dat één (of meer) van de 8 axioma's voor vectorruimten niet opgaat voor de verzameling, dan is het geen vectorruimte.
Omhoog
Reageer

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”