[meetkunde] Straal interstitiële bol

flamey

Gegeven het volgende figuur:

Afbeelding

De straal van elke cirkel noemen we r₁. Bereken de straal van de grootste cirkel dat zich in de holte kan bevinden. Kan iemand me hier bij helpen? De hoogte van de holte bepalen lukt me nog wel, maar ik die niet in welk gedeelte van deze holte door een cirkel in beslag genomen wordt.

aadkr

Stel middelpunt van circel linksonder is oorsprong van x-y assenstelsel.

Stel: Straal van de 3 circels =R

Middelpunt van de circel die we zoeken is snijpunt van de 3 middenloodlijnen.

\((x,y)=(R,0)+\lambda (0,R)\)

\((x,y)=\mu (\frac{3}{2}R , \frac{1}{2}R\sqrt{3} )\)

Snijpunt=

\(M=(R,\frac{1}{3}R\sqrt{3} )\)

Lengte is dan:

\(L=\frac{2}{\sqrt{3}} .R\)

Straal circel is:

\(\frac{2}{\sqrt{3} } .R - R \)

flamey

Aadkr, misschien dat jij je gebruikte methode kan toelichten, want deze is mij nog niet bekend. Het lijkt op een parametrisatie van een lijn door middel van een vector. Bovendien klopt het antwoord niet, deze heb ik namelijk wel (uiteraard ben ik alleen geinteresseerd in de methode).

r₂ noemen we de straal van het cirkeltje in de holte.

Dan is r₂=0,225r₁.

Door middel van een benadering van de straal wist ik in de buurt van dit getal uit te komen. Met als aanname dat r₂~1/8h. Waarbij h de hoogte van de getekende driehoek is.

Brinx

De straal van het kleine vulcirkeltje kun je berekenen door eerst de afstand van het middelpunt van de groene gelijkzijdige driehoek tot de bovenhoek van die driehoek te berekenen. Als je een lijn trekt vanuit dat centrum naar de bovenste hoek van de driehoek, en ook vanuit het centrum naar het raakpunt van de bovenste cirkel en de rechtercirkel zie je dat je een 30-60-90 driehoek vormt met lengteverhoudingen van de zijden als \(1:\sqrt{3}:2\). De lengte van de verticaal lopende zijde (de 'schuine zijde' eigenlijk, maar dat is hier wat verwarrend!) van deze 30-60-90 driehoek (centrum naar hoogste punt van gelijkzijdige driehoek) is dus \(H = \frac{2}{\sqrt{3}}R\), en het verschil tussen deze lengte en de straal van de cirkels (\(R\)) is dus:

\(R_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}R - R \approx 0.1547 R\)

Ik krijg dus hetzelfde antwoord als aadkr.

[edit]: Wacht, ik besef me net iets! De oplossing die door aadkr en mijzelf gevonden is geldt wel voor de vlakke situatie (met cirkels), maar de titel van dit onderwerp doet me vermoeden dat je zoekt naar de straal van een bolletje dat tussen 4 even grote bollen van straal R ingesloten zit. Kan dat misschien kloppen? In dat geval werkt de oplosmethode namelijk hetzelfde, alleen komt er nog ietsje extra pythagoras bij kijken.

aadkr

Je hebt het over de straal van een bol.

Het antwoord van Brinx en van mij is gebaseerd op 3 circels in het platte vlak.

Flamey vroeg of ik de methode wil toelichten.

Mijn advies zou zijn: Koop of leen een boek over vectormeetkunde.

Ik heb gebruik gemaakt van de vectorvoorstelling van een rechte lijn.

Als je vraag is gebaseers op 3 bollen op een horizontaal vlak die elkaar raken , en daarbovenop nog een bol, dan moet ik nog even verder puzzelen.

oktagon

Mogelijk een eenvoudiger uitleg:

Gerekend vanuit een cirkelmiddelpunt is de afstand tot de basis van de gelijkzijdige driehoek (2/3)R wortel 3 en die verminder je met de straal van de cirkel ofwel R,resteert het reeds bekende antwoord 0,1547R

flamey

Nou zo'n boek heb ik wel liggen

, dus ik zal het eens wagen om dr in te kijken ^_^

Het is iig wel zo dat het gaat om een bol, maar dit zou toch als het goed is, niet moeten uitmaken of wel

aadkr

De middelpunten van de 4 bollen noemen we O , A ,B en C

\(O=(0,0,0)\)

\(A=(2R,0,0)\)

\(B=(R,R\sqrt{3},0)\)

\(C=(R,\frac{R}{\sqrt{3}} , \sqrt{\frac{8}{3}}.R)\)

Het zwaartepunt van het grondvlak is:

z=1/3 . (O+A+B)

De zwaartepunten van de andere vlakken bepaal je op dezelfde manier

z=1/3 . (A+B+C)

z=1/3 . (O+A+C)

z=1/3 . (O+B+C)

Het zwaartepunt van gelijkzijdig viervlak is:

z=1/4 . (O+A+B+C)

\(z=(R,\frac{1}{3} R \sqrt{3} , \frac{1}{4} \sqrt{\frac{8}{3}}.R)\)

De absolute lengte van deze vector is:

\(L=\sqrt{\frac{3}{2} }.R\)

Straal van de ingeschreven bol is:

L -R=

\((\sqrt{\frac{3}{2}}-1).R=0,2247 .R\)

flamey

Hey bedankt aadkr

Ik ga dan toch maar eens die vectoren bekijken, want die zijn echt verrekte handig

.

aadkr

Die oplossing komt uit het boek:

Lineaire algebra 1 van drs. J.F.Deckers Uitg. Wolters-Noordhoff

flamey

Het boek is geen probleem, ik heb hier een lekker dik boek over lineaire algebra liggen. Dus dat komt wel goed

.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[meetkunde] Straal interstitiële bol

[meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti

Re: [meetkunde] Straal interstiti