Springen naar inhoud

[Wiskunde] Limieten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2007 - 22:13

Ik moet met behulp van de epsilon-delta methode aantonen dat:

Limiet van x naar 1 van de functie 1/(1+x^2) gelijk is aan 1/2

Er zijn bepaalde hints (3) gegeven, die ik graag wil volgen, om vervolgens in de 4e stap het hele bewijs te geven. Kan iemand helpen?

1) Laat zien dat we voor elke delta groter dan 0 hebben: voor alle x uit R met abs(x-1) is kleiner dan delta geldt:

abs(a+x) is kleiner dan (2 + delta)


Laten we het maar in kleine stapjes doen, dan begrijp ik het beter. Als ik dit begrijp zal ik meer informatie geven. Anders gaat het misschien te snel... :)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 februari 2007 - 12:53

LaTeX
x behoort dan tot het open interval
LaTeX
Ze zeggen ook wel:
x behoort tot de open bol
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
De laatste formule kunnen we vergeten, want x nadert tot 1.
LaTeX
LaTeX
LaTeX

#3

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2007 - 19:12

Oke, geweldig! Ik moet vervolgens concluderen dat voor zulke x het volgende geldt:

abs(1/(1+x^2) - 1/2)) kleiner is dan 1/2 delta abs(1+x) kleiner is dan 1/2 delta (2+ delta)

Waarom kan ik beredeneren dat delta groter is dan 0 en kleiner of gelijk aan 1?

En hoe kan ik laten zien dat: 1/2 delta(2+ delta) kleiner of gelijk is aan 3/2 delta?

Ik ken deze methode nog niet zo goed, dus hoop dat jullie me kunnen helpen!

#4

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 februari 2007 - 14:21

Nu kan ik het niet meer volgen.
Maar laten we het eens op de officiele manier afleiden.
Eerst gaan we het volgende bewijzen.
Te bewijzen: Als
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Te bewijzen:Als
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Het bewijs:
Neem aan dat
LaTeX
LaTeX
LaTeX
geldt ,dat
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Probeer eerst dit bewijs te volgen.

#5

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2007 - 14:26

Ja, ik kan het enigzins volgen. Maar hoe kom ik aan de bovenstaande antwoorden. De eerste vraag is onduidelijk, geef ik toe. Een verduidelijking:

abs(1/(1+x^2) - 1/2)) is kleiner dan 1/2 delta abs(1+x), en dit is kleiner dan 1/2 delta (2+ delta).

#6

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5442 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 februari 2007 - 15:30

Stel:
LaTeX
LaTeX
Als
LaTeX
Dan is
LaTeX
Als je nu x tot 1 laat naderen, dan zal
LaTeX
Ook zal
LaTeX
Dan zal heel de term
LaTeX
naderen tot 0.
Dan nadert ook volgens de eerste regel de term
LaTeX
Je hebt nu bewezen dat
LaTeX

#7

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2007 - 13:33

Het gaat me allemaal veel te snel. Ik zal het in nog kleinere stapjes doen.

Je hebt aangetoond dat abs(1+x) kleiner is dan 2+delta

Hoe laat je dan zien dat voor zulke x geldt:

abs(1/(1+(xx) - 1/2) kleiner is dan 1/2 delta * abs(1+x)

en dat

1/2 delta * abs(1+x) kleiner is dan 1/2 delta * (2+delta)??

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 februari 2007 - 20:45

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures