[Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 599

[Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Zie onderstaande tekening. Een klein balletje wordt onderaan weggeschoten met een snelheid (v met omgekeerd dakje) vdal. Die snelheid moet precies zo zijn dat het balletje even later uit de cirkelbaan lostkomt in punt P, verder gaat met een paraboolbaan, en precies door punt M valt.

De vragen zijn...

1. Is hoek theta.gif altijd hetzelfde? Met andere woorden... kan bovenstaande verhaal slechts bij één soort hoek voorkomen?

2. Hoe bereken je vdal uit straal r, de valversnelling g en eventueel de hoek theta.gif ?

Afbeelding

P.S.: Ik meen dat een dergelijke vraag een hele tijd geleden al eens is gesteld, maar kan het niet meer terugvinden.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Toen werd wél een vergelijkbare vraag gesteld, maar toen ging het om de snelheid van het balletje als het bovenin was en nog ruim driekwart rond moest.

http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...light=simulatie
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Berichten: 599

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Jan, in het topic waarnaar je verwijst is het probleem toch net iets anders. Daar gaat het balletje een paraboolbaan beschrijven omdat het touwtje op een zeker moment breekt. Hierdoor kan het balletje buiten de cirkel treden waarne het door het middelpunt valt. In mijn probleem gaat het balletje over is een paraboolbaan omdat de middelpuntvliedende kracht de de zwaartekracht niet meer kan op heffen of iets dergelijks.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 51.259

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Inderdaad, ook in dát opzicht is 'ie net weer wat anders.

Ik kan me echter van de laatste anderhalf jaar niets maar dan ook niets anders herinneren dat er ook maar in de verste verte op lijkt. Of het zou in het wiskundeforum moeten staan (daar kom ik zelden), maar dat lijkt me onwaarschijnlijk, daar is het de opgave niet naar.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN...
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Na veel rekenwerk zou eruit moeten komen:
\(s\inth\eta.\left( -3gr^2.\sin^2\theta+(2r{v_{k}}^2-4gr^2).s\inth\eta-gr^2\right)=0\)
\(s\inth\eta=0 \)
is geen oplossing.

Dus je krijgt een vierkantsvergelijking in (sin theta)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

\(\frac{1}{2}.m.v_{k}^2=\frac{1}{2}.m.v_{P}^2+m.g.r.(1+s\inth\eta)\)
\(v_{p}^2=v_{k}^2-2.g.r.(1+s\inth\eta)\)
Als je het punt P als oorsprong kiest, krijg je:
\(y=\frac{-g.x^2}{2.v_{P}^2.\cos^2(90-\theta)}+x.\tan(90-\theta)\)
In deze vergelijking invullen:
\(x=r.\cos\theta\)
\(y=-r.s\inth\eta\)
Dan krijg je de derdegraadsvergelijking uit mijn eerste bericht.

Doordat sin theta =0 geen oplossing is, hou je dus een tweedegraadsvergelijking over in (sin theta)
\({s\inth\eta}_{1,2}=\frac{(v_{k}^2-2.g.r)}{3.g.r}\pm \frac{1}{3.g.r}.\sqrt{v_{K}^4-4.g.r.v_{K}^2+g^2.r^2}\)
Als randvoorwaarde moet je nog stellen dat:
\(v_{k}>\sqrt{2.g.r}\)
Anders komt het punt P niet boven het middelpunt van de circel uit.

Getallenvoorbeeld:

r=1 meter v(k)=10 m/s g=10

v(P)=8,873274 m/s

Theta=3,626378 graden

t=1,7782190 seconde.

y=v(P)vertikaal .t -1/2 .g .t^2

y=8,8555071 . 1,7782190 - 1/2 . 10 . (1,7782190)^2

y= - 0,0632831

sin 3,626378 = 0,063250

Kleine afrondingsfout.

Gebruikersavatar
Berichten: 599

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Ik weet het allemaal niet, maar ik heb zo'n vermoeden dat theta.gif helemaal geen variabele is in mijn probleem. Zie het plaatje hieronder. Aan de linkerkant heeft theta.gif een waarde in de buurt van 90°, maar die situatie lijkt me niet mogelijk omdat ik denk dat het balletje in werkelijkheid wel eerder uit de cirkelbaan valt. Aan de rechterkant is theta.gif in de buurt van 0°. Daar is loskomen helemaal al niet mogelijk omdat het balletje vervolgens buiten de cirkelbaan moet treden om nog door punt M te kunnen komen. theta.gif = 0° lijk me dus al niet de minimale hoek waar punt P kan liggen. Blijkbaar is er een andere ondergrens. Wie kan mijn vermoeden bevestigen of ontkrachten dat theta.gif een vaste waarde moet hebben, wil het balletje door punt M kunnen vallen?

Afbeelding

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Ik heb bij de berekening geen rekening gehouden met het feit dat de kogel een circelbaan doorloopt.

Hetzelfde vraagstuk met oplossing staat in het boek:Vraagstukken theoretische mechanica van L.D. van den Houten

Hoop morgen met oplossing te komen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

De kogel glijdt in een goot ( aan de binnenkant open) en komt horizontaal van links en begint in puntA te stijgen.

Laten we de horizontale lijn door M (circel) lijn M noemen, en de vertikale lijn door M(circel) lijn L noemen.

We geven de kogel zoveel snelheid, dat de kogel nog steeds contakt maakt met de goot, als de kogel de hor. lijn M passeert, maar niet zoveel snelheid, dat de kogel nog steeds in contakt is met de goot als hij de vertikale lijn L passeert.

De kogel noemen we punt P. Het punt waar de kogel loskomt van de goot, noemen we punt B.

Op P werken bij de circelvormige beweging Fz aarde en de gootkracht S ( deze is altijd naar het middelpunt van de circel gericht.).

Stel: g=10 m/s^2

Wet van behoud Mechanische energie.
\(\frac{1}{2} .m .v_{B}^2 - \frac{1}{2}.m.v_{a}^2= -m.10.(R+R.\cos\alpha)\)
\(m.v_{B}^2=m.v_{a}^2 -20.m.R.(1+\cos\alpha)\)
Als P de goot in B gaat verlaten, dan is de gootkracht S=0.

Dus in B werkt alleen Fz op P.

De middelpuntzoekende kracht in B is dus
\(m.10.\cos\alpha\)
Uit
\(F=m.\frac{v^2}{R}\)
volgt
\(m.10.\cos\alpha=\frac{m.v_{A}^2 -20.m.R.(1+\cos\alpha)}{R}\)
\(\cos\alpha=\frac{v_{A}^2 -20.R}{30.R}\)
Noem de horizontale projectie van punt B op de vertikale lijn door M : B1
\(MB1=R.\cos\alpha=\frac{v_{A}^2-20.R}{30}\)
\(v_{B}^2=v_{A}^2 -20.R.(1+\cos\alpha)\)
\(v_{B}^2=\frac{v_{A}^2-20.R}{3}\)
\(v_{B}=\frac{1}{\sqrt{3}} . \sqrt{v_{A}^2-20.R}\)
Afstand BB1 is s(hor.) = R. sin (alpha)

v(B)hor = v(B). cos (alpha)

v(B) vert. = v(B) . sin (alpha)

In horizontale richting geldt s=v.t
\(t=\frac{R.\sin\alpha}{v_{B}.\cos\alpha}\)
In vertikale richting geldt:
\(y= -v_{B}\vert .t +\frac{1}{2}.10.t^2\)
Dus we nemen y naar beneden positief.

Nu is y bekent, en kunnen we nagaan op welke plaats de kogel de vertikale lijn door M passeert.

Voorbeeld:

R=1 meter v(A)=Wortel(35) dan is alpha=60 graden

Dan passeert de kogel de vertikale lijn door M in punt A.

Neem alpha =55 graden ( bereken de v(A) die hierbij hoort)

Dan passeert de kogel de vertikale lijn door M in een punt net onder M

Dus bij alpha =54 graden ( plus minus) zal de kogel door M gaan

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Ik kom op iets soortgelijks uit. Let wel op dat de hoek alfa in aadkr's post niet hetzelfde is als de hoek theta in de startpost. Als ik het goed heb, kiest aadkr de hoek vanaf boven, en positief naar rechts, dus:
\(\alpha + \theta = 90\)
Mijn redenatie was:

Op het moment dat de kogel overgaat in een paraboolbaan, geldt dat de normaalkracht nul is, dus de component van de zwaartekracht die naar het middelpunt van de cirkelbaan wijst moet de volledige middelpuntzoekende kracht leveren. Als we de hoek nemen zoals in de startpost geldt voor de snelheid:
\(v = \sqrt{v_0^2 - 2gr(1 + \sin \theta)}\)
en voor de grootte van de radiale component van de zwaartekracht:
\(F = mg \sin \theta\)
Als we dit combineren in de bekende formule voor de middelpuntzoekende kracht krijgen we:
\(\frac{mv^2}{r} = F_{\mpz} \Rightarrow \frac{m (v_0^2 - 2gr(1 + \sin \theta))}{r} = mg \sin \theta\)
Uitwerken levert op:
\(\sin \theta = \frac{v_0^2}{3gr} - \frac{2}{3}\)
Als we willen dat de hoek tussen de 0 en 90 graden zitten moeten we zorgen dat:
\( \sqrt{2gr} < v_0 < \sqrt{5gr}\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Dat klopt
\( \alpha=90 - \theta\)
Ik heb de uitwerking gevolgd in het boek van van Houten.

Gebruikersavatar
Berichten: 599

Re: [Mechanica] Cirkelbaan + Paraboolbaan

Ik kom nu zelf op het volgende uit...

Afbeelding

Afbeelding

Dat laatste is de hoek waarvan ik al vermoedde dat dat een constante zou zijn! Wil het balletje door het middelpunt van de cirkel vallen, kan het dus niet anders zijn dat deze bij een hoek theta.gif [rr] 35,264° uit de cirkelbaan losraakt!

Afbeelding

Reageer