Stel je hebt bijvoorbeeld
\(\limits\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}\)
of
\(\limits\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\)
. De manier waarop ik dat aanpak is door te kijken wat er gebeurt als je 1 door 'iets heel groots' of 'iets heel kleins' deelt. Ik begrijp dat dat niet de juiste manier is, maar hoe hoor je dit soort limieten dan wel te doen?
Je vermoedt dat de limiet van 1/x voor x naar oneindig 0 wordt. Dat betekent, dat als je x heel groot maakt, dat 1/x willekeurig dicht bij 0 kan liggen. De limiet noem ik even a, en de functie 1/x noem ik even f(x). Dan geldt dat voor willekeurig grote x,
|f(x)-a|<e,
als a de limiet van f(x) is. Die e is een willekeurig klein getal, maar wel altijd positief; het is immers de afstand tussen je functie en je limiet. "Willekeurig grote x" vertaal je als x>X voor een bepaalde (grote) X. Die e in je afschatting zal van deze X afhangen. Als je X dan groter maakt, dan wordt e steeds kleiner. Er bestaat dus een bepaalde relatie tussen deze twee.
We hebben dus dat we voor een bepaalde x>X moeten krijgen dat
|1/x -a|=|1/x|<e, want a is immers 0. Nou, kies daarvoor es: e=1/X. Dan heb je het volgende:
x>X, dus 1/x < 1/X, en als we dus e=1/X kiezen, dan geldt voor alle x>X dat
|1/x|<e
En dan heb je bewezen dat de limiet a gelijk is aan 0. Je hebt namelijk bewezen dat de functie f(x) willekeurig dicht bij de limiet a kan komen, als je x groot maakt. Hiermee kun je dus niet een limiet uitrekenen, je kunt alleen een vermoeden bewijzen ! Het andere geval gaat analoog, en dat mag je zelf proberen
