[wiskunde]a^3+b^3+c^3

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 436

[wiskunde]a^3+b^3+c^3

Bepaal alle oplossingen
\((a,b,c)\)
met
\(a,b,c\)
natuurlijke getallen waarvoor geldt dat
\(a^3+b^3+c^3\)
deelbaar is door
\(a^2b,b^2c,c^2a\)
.

Mod Ger: klinkt verdomd veel als huiswerk, dus maar even verplaatst. AUB ook aangeven waar je vastloopt.

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

Dit kan geen huiswerk zijn. De oplossing schud je niet zomaar uit je mouw.

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

Dit kan geen huiswerk zijn. De oplossing schud je niet zomaar uit je mouw.


Wou ik just zeggen, dit is HELEMAAL geen huiswerk.

Enja ik loop al vast in het begin.

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

Zet het nog maar weer in de rubriek wiskunde.

Ik zal een oplossing proberen te vinden.

Heb je dat uit een of andere Wiskundeolympiade?

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

als iemand de maximale waarde van a, b&c kan vinden dan vind ik wel de oplossingen met de pc

voor a,b,c<100 vind ik dit met de computer

a=1,b=1,c=1

a=1,b=2,c=3

a=1,b=3,c=2

a=2,b=1,c=3

a=2,b=2,c=2

a=2,b=3,c=1

a=2,b=4,c=6

a=2,b=6,c=4

a=3,b=1,c=2

a=3,b=2,c=1

a=3,b=3,c=3

a=3,b=6,c=9

a=3,b=9,c=6

a=4,b=2,c=6

a=4,b=4,c=4

a=4,b=6,c=2

a=4,b=8,c=12

a=4,b=12,c=8

a=5,b=5,c=5

a=5,b=10,c=15

a=5,b=15,c=10

a=6,b=2,c=4

a=6,b=3,c=9

a=6,b=4,c=2

a=6,b=6,c=6

a=6,b=9,c=3

a=6,b=12,c=18

a=6,b=18,c=12

a=7,b=7,c=7

a=7,b=14,c=21

a=7,b=21,c=14

a=8,b=4,c=12

a=8,b=8,c=8

a=8,b=12,c=4

a=8,b=16,c=24

a=8,b=24,c=16

a=9,b=3,c=6

a=9,b=6,c=3

a=9,b=9,c=9

a=9,b=18,c=27

a=9,b=27,c=18

a=10,b=5,c=15

a=10,b=10,c=10

a=10,b=15,c=5

a=10,b=20,c=30

a=10,b=30,c=20

a=11,b=11,c=11

a=11,b=22,c=33

a=11,b=33,c=22

a=12,b=4,c=8

a=12,b=6,c=18

a=12,b=8,c=4

a=12,b=12,c=12

a=12,b=18,c=6

a=12,b=24,c=36

a=12,b=36,c=24

a=13,b=13,c=13

a=13,b=26,c=39

a=13,b=39,c=26

a=14,b=7,c=21

a=14,b=14,c=14

a=14,b=21,c=7

a=14,b=28,c=42

a=14,b=42,c=28

a=15,b=5,c=10

a=15,b=10,c=5

a=15,b=15,c=15

a=15,b=30,c=45

a=15,b=45,c=30

a=16,b=8,c=24

a=16,b=16,c=16

a=16,b=24,c=8

a=16,b=32,c=48

a=16,b=48,c=32

a=17,b=17,c=17

a=17,b=34,c=51

a=17,b=51,c=34

a=18,b=6,c=12

a=18,b=9,c=27

a=18,b=12,c=6

a=18,b=18,c=18

a=18,b=27,c=9

a=18,b=36,c=54

a=18,b=54,c=36

a=19,b=19,c=19

a=19,b=38,c=57

a=19,b=57,c=38

a=20,b=10,c=30

a=20,b=20,c=20

a=20,b=30,c=10

a=20,b=40,c=60

a=20,b=60,c=40

a=21,b=7,c=14

a=21,b=14,c=7

a=21,b=21,c=21

a=21,b=42,c=63

a=21,b=63,c=42

a=22,b=11,c=33

a=22,b=22,c=22

a=22,b=33,c=11

a=22,b=44,c=66

a=22,b=66,c=44

a=23,b=23,c=23

a=23,b=46,c=69

a=23,b=69,c=46

a=24,b=8,c=16

a=24,b=12,c=36

a=24,b=16,c=8

a=24,b=24,c=24

a=24,b=36,c=12

a=24,b=48,c=72

a=24,b=72,c=48

a=25,b=25,c=25

a=25,b=50,c=75

a=25,b=75,c=50

a=26,b=13,c=39

a=26,b=26,c=26

a=26,b=39,c=13

a=26,b=52,c=78

a=26,b=78,c=52

a=27,b=9,c=18

a=27,b=18,c=9

a=27,b=27,c=27

a=27,b=54,c=81

a=27,b=81,c=54

a=28,b=14,c=42

a=28,b=28,c=28

a=28,b=42,c=14

a=28,b=56,c=84

a=28,b=84,c=56

a=29,b=29,c=29

a=29,b=58,c=87

a=29,b=87,c=58

a=30,b=10,c=20

a=30,b=15,c=45

a=30,b=20,c=10

a=30,b=30,c=30

a=30,b=45,c=15

a=30,b=60,c=90

a=30,b=90,c=60

a=31,b=31,c=31

a=31,b=62,c=93

a=31,b=93,c=62

a=32,b=16,c=48

a=32,b=32,c=32

a=32,b=48,c=16

a=32,b=64,c=96

a=32,b=96,c=64

a=33,b=11,c=22

a=33,b=22,c=11

a=33,b=33,c=33

a=33,b=66,c=99

a=33,b=99,c=66

a=34,b=17,c=51

a=34,b=34,c=34

a=34,b=51,c=17

a=35,b=35,c=35

a=36,b=12,c=24

a=36,b=18,c=54

a=36,b=24,c=12

a=36,b=36,c=36

a=36,b=54,c=18

a=37,b=37,c=37

a=38,b=19,c=57

a=38,b=38,c=38

a=38,b=57,c=19

a=39,b=13,c=26

a=39,b=26,c=13

a=39,b=39,c=39

a=40,b=20,c=60

a=40,b=40,c=40

a=40,b=60,c=20

a=41,b=41,c=41

a=42,b=14,c=28

a=42,b=21,c=63

a=42,b=28,c=14

a=42,b=42,c=42

a=42,b=63,c=21

a=43,b=43,c=43

a=44,b=22,c=66

a=44,b=44,c=44

a=44,b=66,c=22

a=45,b=15,c=30

a=45,b=30,c=15

a=45,b=45,c=45

a=46,b=23,c=69

a=46,b=46,c=46

a=46,b=69,c=23

a=47,b=47,c=47

a=48,b=16,c=32

a=48,b=24,c=72

a=48,b=32,c=16

a=48,b=48,c=48

a=48,b=72,c=24

a=49,b=49,c=49

a=50,b=25,c=75

a=50,b=50,c=50

a=50,b=75,c=25

a=51,b=17,c=34

a=51,b=34,c=17

a=51,b=51,c=51

a=52,b=26,c=78

a=52,b=52,c=52

a=52,b=78,c=26

a=53,b=53,c=53

a=54,b=18,c=36

a=54,b=27,c=81

a=54,b=36,c=18

a=54,b=54,c=54

a=54,b=81,c=27

a=55,b=55,c=55

a=56,b=28,c=84

a=56,b=56,c=56

a=56,b=84,c=28

a=57,b=19,c=38

a=57,b=38,c=19

a=57,b=57,c=57

a=58,b=29,c=87

a=58,b=58,c=58

a=58,b=87,c=29

a=59,b=59,c=59

a=60,b=20,c=40

a=60,b=30,c=90

a=60,b=40,c=20

a=60,b=60,c=60

a=60,b=90,c=30

a=61,b=61,c=61

a=62,b=31,c=93

a=62,b=62,c=62

a=62,b=93,c=31

a=63,b=21,c=42

a=63,b=42,c=21

a=63,b=63,c=63

a=64,b=32,c=96

a=64,b=64,c=64

a=64,b=96,c=32

a=65,b=65,c=65

a=66,b=22,c=44

a=66,b=33,c=99

a=66,b=44,c=22

a=66,b=66,c=66

a=66,b=99,c=33

a=67,b=67,c=67

a=68,b=68,c=68

a=69,b=23,c=46

a=69,b=46,c=23

a=69,b=69,c=69

a=70,b=70,c=70

a=71,b=71,c=71

a=72,b=24,c=48

a=72,b=48,c=24

a=72,b=72,c=72

a=73,b=73,c=73

a=74,b=74,c=74

a=75,b=25,c=50

a=75,b=50,c=25

a=75,b=75,c=75

a=76,b=76,c=76

a=77,b=77,c=77

a=78,b=26,c=52

a=78,b=52,c=26

a=78,b=78,c=78

a=79,b=79,c=79

a=80,b=80,c=80

a=81,b=27,c=54

a=81,b=54,c=27

a=81,b=81,c=81

a=82,b=82,c=82

a=83,b=83,c=83

a=84,b=28,c=56

a=84,b=56,c=28

a=84,b=84,c=84

a=85,b=85,c=85

a=86,b=86,c=86

a=87,b=29,c=58

a=87,b=58,c=29

a=87,b=87,c=87

a=88,b=88,c=88

a=89,b=89,c=89

a=90,b=30,c=60

a=90,b=60,c=30

a=90,b=90,c=90

a=91,b=91,c=91

a=92,b=92,c=92

a=93,b=31,c=62

a=93,b=62,c=31

a=93,b=93,c=93

a=94,b=94,c=94

a=95,b=95,c=95

a=96,b=32,c=64

a=96,b=64,c=32

a=96,b=96,c=96

a=97,b=97,c=97

a=98,b=98,c=98

a=99,b=33,c=66

a=99,b=66,c=33

a=99,b=99,c=99

het is uiteraard geen wiskundige methode
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

No offence, maar ik heb liever geen oplossing dan een oplossing met de computer.

Gebruikersavatar
Berichten: 17.653

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

Bij deze weer teruggeplaatst naar wiskunde. Door de zeer korte vraagstelling, de manier van vragen (gewoon "Bepaal....") en geen verdere achtergrond gegeven interpreteerde ik het als huiswerk. Mijn excuses.

Mag ik vragen hoe je aan deze vraag komt?
"Knowledge speaks, but wisdom listens."
- Jimi Hendrix -

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

No offence, maar ik heb liever geen oplossing dan een oplossing met de computer.
das ook waar, maar dit leek mij wel een pc probleem

stel
\(a=b=c=10^n\)
dan is
\(a^2 b = b^2 c = c^2 a = 10^{2n+n}\)
\(a^3+b^3+c^3=3 \cdot 10^{3n}\)
dus oneindig veel oplossingen (begin dan al maar te zoeken), klopt dit?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

mo² schreef:No offence, maar ik heb liever geen oplossing dan een oplossing met de computer.
das ook waar, maar dit leek mij wel een pc probleem

stel
\(a=b=c=10^n\)
dan is
\(a^2 b = b^2 c = c^2 a = 10^{2n+n}\)
\(a^3+b^3+c^3=3 \cdot 10^{3n}\)
dus oneindig veel oplossingen (begin dan al maar te zoeken), klopt dit?
En als
\(a=b=c=/=10^n\)
, en als
\(a=b=/=c\)
...

:)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

dan weet ik het niet direct, maar er zal wel een voorwaarde voor op te stellen zijn.

in ieder geval zijn er dus oneindig veel oplossingen
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

Stel ggd(a,b,c) = k en (a,b,c) is een oplossing.

Zeg a=kA, b=kB en c=kC

Dan is
\(a^3+b^3+c^3 = k^3(A^3+B^3+C^3)\)
en dat is deelbaar door
\(a^2b = k^3A^2B\)
enz.

Blijkbaar is dan ook
\(A^3+B^3+C^3\)
deelbaar door
\(A^2B\)
enz.

Dus als (a,b,c) een oplossing is dan is ook (na,nb,nc) een oplossing voor elke n.

We hoeven dus alleen te onderzoeken oplossingen met ggd(a,b,c) = 1.

Stel ggd(a,b) = k en a=kA en b=kB.

Dan is
\(a^3+b^3+c^3 = k^3(A^3+B^3)+c^3\)
deelbaar door
\(a^2b = k^3A^2B\)
Blijkbaar is dan c deelbaar door k. Tegenspraak, want ggd(a,b,c) = 1.

Dus a,b en c hebben onderling geen gemeenschappelijke factoren.

We kunnen nu het probleem herformuleren.

Voor welke natuurlijke getallen a,b,c met ggd(a,b)=ggd(b,c)=ggd(a,c)=1 geldt dat
\(a^3+b^3+c^3\)
deelbaar is door
\((abc)^2\)

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

Dat is al een mooie observatie.

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

Ik heb het nog niet 100% hard kunnen maken, maar de oplossingen zijn waarschijnlijk (1,1,1), (1,2,3) of een veelvoud hiervan, inclusief coordinaatverwisselingen.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: [wiskunde]a^3+b^3+c^3

@PeterPan: zeer mooi :)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Reageer