\(f(ab)=f(a)f(b)\)
, en als a en b priem zijn is \(f(a+b)=f(a)+f(b)\)
.Bepaal
\(f(2008)\)
.Laatste berichten
-
21:15
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 4
-
20:18
Rood laserlicht 1
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
f(ab)=f(a)f(b) ...
-
- Berichten: 5.679
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
2008
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Als f(3)=3, dan is waarschijnlijk f(n)=n voor alle n (mits vermoeden van Goldbach klopt).
Maar ik zie even niet waarom f(3)=3 zou zijn.
Ik kom dus tot
f(1)=1, f(2)=2, f(4)=4
f(n) = n + (f(3)-3) als n>1 oneven is en
f(n) = n + 2(f(3)-3) als n>4 even is.
Als f(3)=3, dan is makkelijk aan te tonen dat f(2008)=2008.
Maar ik zie even niet waarom f(3)=3 zou zijn.
Ik kom dus tot
f(1)=1, f(2)=2, f(4)=4
f(n) = n + (f(3)-3) als n>1 oneven is en
f(n) = n + 2(f(3)-3) als n>4 even is.
Als f(3)=3, dan is makkelijk aan te tonen dat f(2008)=2008.
-
- Berichten: 5.679
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
UitPeterPan schreef:Als f(3)=3, dan is waarschijnlijk f(n)=n voor alle n (mits vermoeden van Goldbach klopt).
Maar ik zie even niet waarom f(3)=3 zou zijn.
\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)
volgt \(f(a+b+c) = f(a)+f(b+c) = f(a)+f(b)+f©\)
, en in het algemeen \(f\left(\sum_{i=1}^n a_i\right) = \sum_{i=1}^n f(a_i)\)
(als alle ai's priem zijn)Dus omdat f(6) = f(2[.]3) = f(2)[.]f(3) en ook f(6)= f(2+2+2)=f(2)+f(2)+f(2) = f(2)[.]3, moet gelden f(3)=3.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Hoezo dan?Uit\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)volgt\(f(a+b+c) = f(a)+f(b+c) = f(a)+f(b)+f©\)
\(f(b+c)=f(b)+f©\)
geldt slechts voor b en c priem, maar b+c is dan zeker niet priem.-
- Berichten: 5.679
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Waarom niet? (neem bijv. a=2, b=2, c=3)\(f(b+c)=f(b)+f©\)geldt slechts voor b en c priem, maar b+c is dan zeker niet priem.
Maar je hebt wel een punt, dat algemene geval voor alle [som]ai kan niet zomaar worden doorgetrokken.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Het geval f(2+2+p) = f(2)+f(2)+f(p) als p en p+2 priem zijn is een heel bijzondere uitzondering.
Daarmee is f(3)=3 niet aangetoond.
Daarmee is f(3)=3 niet aangetoond.
-
- Berichten: 5.679
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Nou ja, en anders kun je nog zeggen: f(x)=x voldoet aan de gegeven eisen en daar komt f(2008)=2008 uit, en gezien de vraagstelling moet er kennelijk een afleidbaar (dus uniek) antwoord zijn. En dus kan 2008 niet zomaar "een" antwoord zijn, maar moet het noodzakelijkerwijs HET antwoord zijn.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Ik heb de oplossing gevonden. Zoals zo vaak iets triviaals over het hoofd gezien.
Antwoord volgt.
Antwoord volgt.
-
- Moderator
- Berichten: 4.096
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Als
\(f\)
de nulfunctie is, voldoet hij ook aan de eigenschappen die gegeven zijn, dus \(f(2008)=0\)
.-
- Berichten: 5.679
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Oh ja, inderdaad, in dat geval klopt de vraagstelling dus niet want f(2008) is niet eenduidig te bepalenAls\(f\)de nulfunctie is, voldoet hij ook aan de eigenschappen die gegeven zijn, dus\(f(2008)=0\).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Nee, we moeten uitgaan van natuurlijke getallen.
f(1.1)=f(1).f(1), dus f(1)=1.
Als p priem, p>2 dan is 2f(p)=f(p)+f(p)=f(2p)=f(2)f(p) dus f(2)=2.
2f(2) = f(2)+f(2) = f(2+2) = f(4), dus f(4)=4.
Zeg f(3) = n.
f(5) = f(2) + f(3) = 2 + n.
f(14) = f(7) + f(7) = 2(f(2) + f(5)) = 8 + 2n
f(14) = f(3) + f(11), dus
f(11) = 8 + n
f(15) = f(2) + f(13) = 2 + f(2) + f(11) = 12 + n.
f(15) = f(3).f(5), dus 12 + n = n.(2+n) en n = 3.
Dus f(3) = 3.
f(1.1)=f(1).f(1), dus f(1)=1.
Als p priem, p>2 dan is 2f(p)=f(p)+f(p)=f(2p)=f(2)f(p) dus f(2)=2.
2f(2) = f(2)+f(2) = f(2+2) = f(4), dus f(4)=4.
Zeg f(3) = n.
f(5) = f(2) + f(3) = 2 + n.
f(14) = f(7) + f(7) = 2(f(2) + f(5)) = 8 + 2n
f(14) = f(3) + f(11), dus
f(11) = 8 + n
f(15) = f(2) + f(13) = 2 + f(2) + f(11) = 12 + n.
f(15) = f(3).f(5), dus 12 + n = n.(2+n) en n = 3.
Dus f(3) = 3.
-
- Berichten: 5.679
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Want?Nee, we moeten uitgaan van natuurlijke getallen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Restant van het bewijs.
f(8) = f(3) + f(5) = 8.
251 en 253 zijn priem.
f(253) = f(2) + f(251)
253 = 11.13 = f(11).f(13) = f(253) = f(2) + f(251) = 2 + f(251),
dus f(251) = 251
en f(2008) = f(2^3.251) = f(8).f(251) = 8.251 = 2008.
f(8) = f(3) + f(5) = 8.
251 en 253 zijn priem.
f(253) = f(2) + f(251)
253 = 11.13 = f(11).f(13) = f(253) = f(2) + f(251) = 2 + f(251),
dus f(251) = 251
en f(2008) = f(2^3.251) = f(8).f(251) = 8.251 = 2008.
-
- Berichten: 5.679
Re: f(ab)=f(a)f(b) ...
Het is trouwens de vraag of 0 geen natuurlijk geen getal is. Sommige conventies zeggen van wel, andere twijfelen (hier nog een).Nee, we moeten uitgaan van natuurlijke getallen.
Bewijs voor de niet-nul-variant mooi bij elkaar gepuzzeld trouwens
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
