[wiskunde] continue functies

Klaas-Jan

Gegeven zijn een continue functie f: R^n -> R en een punt c in R^n.

(a) Veronderstel dat f© > 0 en laat m een reëel getal zijn met 0 < m < f©. Toon aan dat er een delta > 0 bestaat, zodat voor alle x in B(c;delta) geldt: f(x) > m.

(b) Veronderstel nu dat f© ongelijk is aan 0. Toon aan dat er een m > 0 en een delta > 0 bestaan, zodat voor alle x in B(c;delta) geldt: abs(f(x)) > m.

Hoe kan ik deze 2 vraagstukjes oplossen?

aadkr

Kijk eens naar "Huiswerk en Praktika : Limieten""

In het vierde bericht dat begint met "" nu kan ik het niet meer volgen"" staat het antwoord op jouw vraag.

Je moet dan alleen de zin"" kies epsilon =1/2 .M"" vervangen door ""kies epsilon= k.M met 0<k<1.

Dan krijg je inplaats van "" g(x)>1/2 .M"" g(x)>(1-k).M

Klaas-Jan

Te bewijzen: Als

\(Lim_{x\rightarrow a}g(x)=M>0,\textnormal{dan is er een }\)

\(\delta>0 \textnormal{te v\inden, zoda\nig dat , voor a\lle x behor\ende \tot}\)

\(0<\parallel x-a\parallel<\delta \textnormal{geldt, dat } g(x)>k.M\)

Te bewijzen:Als

\(Lim_{x\rightarrow a}g(x)=M<0,\textnormal{dan is er een }\)

\(\delta>0 \textnormal{te v\inden, zoda\nig dat , voor a\lle x behor\ende \tot}\)

\(0<\parallel x-a \parallel<\delta \textnormal{geldt, dat} g(x)<k.M\)

Het bewijs:

Neem aan dat

\(Lim_{x\rightarrow a} g(x)=M>0\)

\(\textnormal{Kies} \epsilon=k.M\)

\(\textnormal{Dan is er een } \delta>0 \textnormal{te v\inden, zodat voor a\lle x behor\ende \tot} 0<\parallel x-a \parallel <\delta\)

geldt ,dat

\(\parallel g(x)-M \parallel < k.M\)

\(\textnormal{Als} x\in 0<\parallel x-a \parallel <\delta \textnormal{dan}\)

\(g(x)=M -(M-g(x)) \geq M - \parallel M-g(x)\parallel>M-k.M=kM\)

Klopt het bewijs zo? Ik heb nu toch niet vraag (a) en (b) bewezen. Ik begrijp het namelijk niet helemaal... [rr] Er stond namelijk ook nog iets van 0<k<1...

aadkr

Klaas Jan, ik zal proberen om zaterdag (of zondag) je vraag te beantwoorden.

Klaas-Jan

Oké, ik hoop dat je me een sluitend bewijs voor deze beide vragen kunt geven. [rr]

aadkr

Te bewijzen:

Als

\(Lim_{x\rightarrow a}g(x)=M >0, dan is er voor elke \epsilon=k.M\)

\(met 0<k<1 een \delta >0 te v\inden zoda\nig dat, voor a\lle x\)

\( behor\ende \tot 0<\parallel x-a \parallel <\delta geldt dat \)

\(g(x)> (1-k).M\)

\(Kies een \epsilon=k.M , dan is er een \delta >0 te v\inden, zodat\)

\(voor a\lle x behor\ende \tot 0<\parallel x-a\parallel <\delta geldt\)

\(dat \parallel M-g(x)\parallel<k.M\)

\(g(x)=M-(M-g(x))\geq M-\parallel M-g(x) \parallel>(1-k).M\)

Klaas-Jan

aadkr schreef:Te bewijzen:

Als

\(Lim_{x\rightarrow a}g(x)=M >0, dan is er voor elke \epsilon=k.M\)

\(met 0<k<1 een \delta >0 te v\inden zoda\nig dat, voor a\lle x\)

\( behor\ende \tot 0<\parallel x-a \parallel <\delta geldt dat \)

\(g(x)> (1-k).M\)

\(Kies een \epsilon=k.M , dan is er een \delta >0 te v\inden, zodat\)

\(voor a\lle x behor\ende \tot 0<\parallel x-a\parallel <\delta geldt\)

\(dat \parallel M-g(x)\parallel<k.M\)

\(g(x)=M-(M-g(x))\geq M-\parallel M-g(x) \parallel>(1-k).M\)

Oke, dit is het bewijs van opgave (a), die begrijp ik. Bij (b) is er sprake van een absolute waarde van een functiewaarde... Hoe bewijs je dat?

aadkr

Neem aan dat

\(Lim_{x \rightarrow a}g(x)=M (<0) , dan is er een \delta >0 te v\inden\)

\(zoda\nig dat voor a\lle x behor\ende \tot 0<\parallel x-a \parallel<\delta\)

\(geldt dat:g(x)<(1-k).M\)

\(Kies \epsilon=-k.M (=k.\parallel M \parallel )\)

dan is er een

\(\delta >0 te v\inden zodat voor a\lle x behor\ende \tot 0<\parallel x-a \parallel <\delta\)

\( geldt dat:\parallel M-g(x) \parallel < -k.M\)

\(Als x behoort \tot 0< \parallel x-a \parallel <\delta dan \)

\(g(x)=(g(x)-M)+M \leq \parallel g(x)-M \parallel +M <(1-k).M\)

Uit de twee bewijzen volgt:

\(Als Lim_{x\rightarrow a}g(x)=M \neq 0,dan is er voor elke \)

\(\epsilon=k. \parallel M \parallel ( met 0<k<1) een\delta>0 te v\inden\)

\(zoda\nig dat als 0< \parallel x-a \parallel <\delta, dan\)

\( \parallel g(x) \parallel > (1-k). \parallel M \parallel \)

Klaas-Jan

aadkr schreef:Neem aan dat

\(Lim_{x \rightarrow a}g(x)=M (<0) , dan is er een \delta >0 te v\inden\)

\(zoda\nig dat voor a\lle x behor\ende \tot 0<\parallel x-a \parallel<\delta\)

\(geldt dat:g(x)<(1-k).M\)

\(Kies \epsilon=-k.M (=k.\parallel M \parallel )\)
dan is er een

\(\delta >0 te v\inden zodat voor a\lle x behor\ende \tot 0<\parallel x-a \parallel <\delta\)

\( geldt dat:\parallel M-g(x) \parallel < -k.M\)

\(Als x behoort \tot 0< \parallel x-a \parallel <\delta dan \)

\(g(x)=(g(x)-M)+M \leq \parallel g(x)-M \parallel +M <(1-k).M\)
Uit de twee bewijzen volgt:

\(Als Lim_{x\rightarrow a}g(x)=M \neq 0,dan is er voor elke \)

\(\epsilon=k. \parallel M \parallel ( met 0<k<1) een\delta>0 te v\inden\)

\(zoda\nig dat als 0< \parallel x-a \parallel <\delta, dan\)

\( \parallel g(x) \parallel > (1-k). \parallel M \parallel \)

Op welke twee bewijzen doel je hier? Bewijs van (a) en vervolgens de toevoeging aan het begin van dit bericht? Volgt uit die 2 bewijzen het bewijs van (b)?

aadkr

Volgens mij wel.

\(m=(1-k). \parallel M \parallel\)

Klaas-Jan

aadkr schreef:Volgens mij wel.

\(m=(1-k). \parallel M \parallel\)

Volgens mij wel [rr] Ik begrijp dat ik dit niet klakkeloos kan overnemen, aangezien je toevoeging!

aadkr

Het voorgaande bewijs kun je gebruiken om de quotientregel voor limieten te bewijzen.

Neem aan dat

\(Lim_{x\rightarrow a}f(x) en Lim_{x\rightarrow a} g(x) bestaan\)

\(en dat Lim_{x\rightarrow a} g(x) \neq 0.\)

\(dan bestaat Lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x), en\)

\(Lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{Lim_{x \rightarrow a}f(x)}{Lim_{x \rightarrow a}g(x)}\)

Bewijs:

\(Stel Lim_{x\rightarrow a}f(x)=L en Lim_{x \rightarrow a}g(x)=M \neq 0\)

\(Voor elke \epsilon >k. \parallel M \parallel is een \delta>0 te v\inden \)

\(zodat als 0< \parallel x-a \parallel <\delta, dan \parallel g(x) \parallel >\)

\((1-k). \parallel M \parallel.\)

Voor zo'n x waarde geldt:

\(\parallel \frac{1}{M.g(x)} \parallel < \frac{1/(1-k)}{M^2}\)

\(\parallel \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{L}{M} \parallel = \parallel \frac{M.f(x) - L.g(x)}{M.g(x)} \parallel = \parallel M.f(x)-L.g(x) \parallel . \parallel \frac{1}{M.g(x)} \parallel \)

\(< \parallel M.f(x)-L.g(x) \parallel .\frac{1/(1-k)}{M^2}\)

\(De funktie \parallel \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{L}{M} \parallel wordt opgesloten \)

\(tu\ssen 0 en de funktie \parallel M.f(x)-L.g(x) \parallel . \frac{1/(1-k)}{M^2}\)

\(Als x\rightarrow a, dan nadert \parallel M.f(x)-L.g(x) \parallel .\frac {1/(1-k)}{M^2} \tot \nul\)

Dus:

\(Lim_{x\rightarrow a} \parallel \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{L}{M} \parallel =0\)

Dit is gelijkwaardig met:

\(Lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M} \)

Klaas-Jan

Klaas-Jan schreef:
aadkr schreef:Volgens mij wel.

\(m=(1-k). \parallel M \parallel\)

Volgens mij wel [rr] Ik begrijp dat ik dit niet klakkeloos kan overnemen, aangezien je toevoeging!

Sorry dat het onduidelijk is. Je hebt twee bewijzen gegeven voor (a) en (b), maar nu kom je met m=.... Wat moet ik daarmee? Kloppen de bewijzen niet voor de vragen zoals ik die heb gesteld?

aadkr

Jawel, maar jouw m is gelijk aan

\(m=M-\epsilon=M-k.M=(1-k).M\)

Hugo

is iemand hier niet delta's en epsilons door elkaar aan het gooien?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] continue functies

[wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies

Re: [wiskunde] continue functies