[astronomie, wiskunde] parallaxberekening

Jan van de Velde

Ik kan onderstaand verhaal niet helemaal volgen, waarschijnlijk door een lacune in mijn goniometrie??

Vanuit 2 verschillende punten op Aarde kijkt men op hetzelfde tijdstip naar een ver verwijderde ster. Vanwege de enorme afstand tot die ster mag men de lijnen k en l evenwijdig beschouwen. (De ster is hier twee keer getekend, maar dat komt omdat deze op deze schaal anders niet getekend kan worden; daarvoor staat deze te ver weg.)

Het object waarvan we de afstand willen bepalen noemen we 'X'. Ook de afstand tot X in vergelijking met de afmetingen van de aarde is hier bewust veel te klein getekend. In werkelijkheid staat X verder weg (is de maan of een planeet bijvoorbeeld) en is de tophoek p dus veel kleiner dan hier in de tekening weergegeven.

De waarnemer in A bepaalt de hoek μ tussen de ster en het object. De waarnemer in B bepaalt de hoek β tussen dezelfde ster en het object. De tophoek van de driehoek ABX noemen we nu de parallaxhoek 'p'. Er geldt: p = μ - β

Omdat p zo klein is wordt p meestal gemeten in seconden. ( " ) één seconde is 1/3600e graad. 4° 3' 2" = 4 graden, 3 minuten, 2 seconden. (Ook wordt wel over 'boogseconde' gesproken). = 4,85 . 10-6 rad.

Omdat 2p (zie vraag 1))zeer klein is geldt:
\( d(Aarde,X) = \frac{d(A,B)}{p}\)
(Met p in radialen !) zie vraag 2)

De minimaal meetbare parallaxhoek is 0,01". De maximale afstand waarop 2 waarnemers op Aarde van elkaar af hun metingen kunnen verrichten is gelijk aan de diameter van de Aarde = 12760 km. Hiermee kunnen we berekenen (maak deze berekening ook zelf) dat deze parallaxmethode geschikt is voor afstanden tot 2,6.1011 km oftewel zon 0,028 lichtjaar.

vraag 1) Vanwaar in 'sterrenhemelsnaam die 2p

vraag 2) Lees ik hier goed dat eigenlijk gezegd wordt dat de tangens van een heel kleine hoek gelijk is aan die hoek zelf in radialen??

want

\( \tan(p) = \frac{d(A,B)}{d(Aarde,X)}\)

, dus

\( d(Aarde,X) = \frac{d(A,B)}{\tan(p) }\)

vraag 3) Hoe moet ik hier eigenlijk de afstand tussen de waarnemers A en B meten, volgens de blauwe, oranje, violette of groene lijn ?(zie plaatje hieronder, de lijntjes die vanaf A getekend zijn)

Die groene kan volgens mij niet goed zijn, want ze hebben het in de tekst hierboven over een maximale afstand op aarde van 12760 km ofwel de aarddiameter.

vraag 4) waarom heten die hoeken resp p, μ

en β ?? "p" zal wel van parallaxhoek zijn, maar dit is de eerste keer van mijn leven dat ik een hoek μ tegenkom.

Fred F.

2) voor zeer kleine p is tan p inderdaad gelijk aan p in radialen.

3) afstand tussen A en B is blauwe lijn, welke hier maximaal gelijk is aan de straal R van de aarde. tan p vereist immers een rechte hoek in de driehoek met A en X. De afstand tussen B en de blauwe rechte hoek kan verwaarloosd worden (blijkbaar).

1) nu is wellicht duidelijk wat ze met 2p bedoelen: de maximale afstand tussen A en B is de diameter D van de aarde, oftewel 2*R. In dat geval is er een extra lijn van X naar het midden M tussen A en B nodig om weer een rechte ("blauwe") hoek en een tangens te kunnen hebben. De hoek tussen XA en XM is dan p en AM = R, en de hoek tussen XA en XB is 2p en AB is D.

4) well, what's in a name. Maar het ware inderdaad logischer geweest als de hoek bij A de naam α zou hebben.

Phys

Voor erg kleine hoeken

\(\theta\)

geldt:

\(\sin{\theta}\approx\theta\)

\(\cos{\theta}\approx 1\)

\(\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\approx \frac{\theta}{1}\)

Fred F.

1) ik dacht even dat ik die 2p begreep maar dan zou de genoemde formule d(Aarde,X)=d(A,B)/tan(p) niet meer gelden als d(A,B) > R

De verwijzing naar 2p lijkt me niettemin een overblijfsel van de oorspronkelijke afleiding van de formule, uitgaande van twee punten aan weerszijden van de aarde.

Jan van de Velde

Dat verhaal van die kleine hoeken komt weer bovendrijven, dank.....

1) nu is wellicht duidelijk wat ze met 2p bedoelen: de maximale afstand tussen A en B is de diameter D van de aarde, oftewel 2*R. In dat geval is er een extra lijn van X naar het midden M tussen A en B nodig om weer een rechte ("blauwe") hoek en een tangens te kunnen hebben. De hoek tussen XA en XM is dan p en AM = R, en de hoek tussen XA en XB is 2p en AB is D.

nog niet echt duidelijk nee. Ik zie de noodzaak van die extra rechte lijn naar een midden M tussen A en B niet, ik kan toch altijd een loodrechte tekenen??

in dit kader ook: waarom staat dan in de oorspronkelijke tekening niet zo'n lijn naar een midden M tussen A en B getekend. Dat kan niet zijn om een nauwkeurigere afstand te krijgen volgens mij, want de fout (het verschil tussen de afstand van A tot de planeet of van B tot de planeet) speelt geen rol van betekenis in de werkelijke afstanden die hier spelen.

In dit verband wordt ook de vraag:

De tekst meldt

De minimaal meetbare parallaxhoek is 0,01".

Betekent dat nou dat elke waarnemer kan meten tot 0,005" nauwkeurig, of zit dat via die 2p toch weer anders?

4) well, what's in a name. Maar het ware inderdaad logischer geweest als de hoek bij A de naam α zou hebben.

mag ik hieruit concluderen dat die hoekbenaming μ en β niet een standaard-astronomisch gebruik is?

EDIT>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

zo lang bezig geweest met deze reactie, tekening e.d. dat ik Fred F's reactie omtrent 2p niet gezien had bij plaatsing. Hoe dan ook, de vraag blijft overeind.

Ik kom in parallaxverhalen op internet inderdaad vaker een in tweeën gesplitste hoek tegen, (zoals hier: http://www.ster.be/urania/parallax.html ) maar er wordt me nog nergens echt duidelijk waarom.

Fred F.

Men kan inderdaad altijd een loodrechte tekenen maar het probleem is altijd: hoe lang is deze loodrechte, want in feite dient men in de formule d(Aarde,X)=d(A,B)/tan(p) de lengte van deze loodrechte te gebruiken voor de waarde van d(A,B). Dat gold voor die eerdere "blauwe" lijn ook.

Strikt genomen geldt de formule met d(A,B) alleen exact wanneer de lijn tussen A en B loodrecht staat op de lijn naar X. Dat is als A en B symmetrisch aan weerskanten van de lijn X-aardmiddelpunt staan. En zo is, denk ik, in het oorspronkelijke verhaal die 2p in de text blijven staan als een vuiltje: p was in de oorspronkelijke afleiding de hoek tussen AX en MX en niet tussen AX en BX. In het plaatje van die www.ster.be link is dat de straal R. Zet men nu een B symmetrisch aan de andere kant dan is de hoek tussen AX en BX gelijk aan 2p. Stel nu 2p gelijk aan P en laat om het even waar A en B zich nou precies bevinden en dan geldt algemeen: d(Aarde,X)=d(A,B)/tan(P)) maar men dient voor d(A,B) dan op aarde niet de afstand gemeten over het gekromde aardoppervlak te nemen, en ook niet de rechte lengte tussen A en B, maar de loodrechte lengte van de "blauwe" lijn. Dit verschil is niet te verwaarlozen. En dat vergt weer wat extra goniometrie om die "blauwe" lengte te bepalen. Tenzij A en B precies aan weerskanten van de aarde (of de aardbaan om de zon) genomen worden want dan is de "blauwe" afstand exact bekend (aarddiameter of diameter aardbaan).

Jan van de Velde

Mijn hele vraag was een storm in een glas water. Inmiddels heb ik de auteur van de cursus te pakken kunnen krijgen.

De 2p was een typefout, inmiddels verwijderd. Het hele verhaal van die basis (afstand tussen de waarnemers op aarde) moet inderdaad zo gezien worden als wij dachten (kon ook haast niet anders). Daarnaast echter is de tekening eigenlijk niet correct: in de praktijk zal er altijd een verwegge ster worden gekozen die zich min of meer in lijn met het te meten object bevindt. Dat scheelt al een beetje basis-afstand-meet-ellende.

Hoe dan ook, voor een beginnerscursus over parallax zijn we het erover eens dat dit voorbeeld een beetje ongelukkig gekozen en gepresenteerd is. Beter eens begonnen bij een object dat zich bevind in een positie ergens loodrecht boven de basis tussen de twee waarnemers, en met een ster daar in de buurt. Er wordt wat aan gedaan... [rr] ...

Dat die tophoek in de sterrenmeetkunde meestal in tweeën wordt gedeeld heeft iets te maken met de definitie van de parsec, die gebaseerd is op de halve parallax die dan tóch p wordt genoemd en die de afstand aarde-zon (1 astronomische eenheid) als tegenoverstaande zijde heeft.

Ofwel, de sterrenkundigen zijn nou niet bepaald consequent bezig...

....

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[astronomie, wiskunde] parallaxberekening

[astronomie, wiskunde] parallaxberekening

Re: [astronomie, wiskunde] parallaxberekening

Re: [astronomie, wiskunde] parallaxberekening

Re: [astronomie, wiskunde] parallaxberekening

Re: [astronomie, wiskunde] parallaxberekening

Re: [astronomie, wiskunde] parallaxberekening

Re: [astronomie, wiskunde] parallaxberekening