\(x_{n+1}=\frac{\lambda x_{n}}{(1+x_{n})^b}\)
onderzoek doen naar de dekpunten en stabiliteit van die formule.Eerst had ik de dekpunten bepaald door
\(x=\frac{\lambda x}{(1+x)^b}\)
op te lossen. Hier kwamen als dekpunten \(x=\sqrt[b]{\lambda}-1\)
en \(x=0\)
uit.Vervolgens moest ik kijken naar de stabiliteit van deze twee dekpunten (stabiliteit is hier gedefinieerd zodat als
\(|f'(a)|<1\)
, dat a dan een stabiel dekpunt is van f). Hiervoor moest ik dus eerst de afgeleide van de tweede formule bepalen, die gelijk is aan\(\lambda ((1+x)^{-b}-xb(1+x)^{-b-1})\)
Eerst had ik \(x=0\)
in deze afgeleide ingevuld. Daar kwam uit dat de uitkomst, ongeacht de waarden van \(\lambda\)
en \(b\)
, altijd gelijk is aan 1. Daar waren geen problemen mee.Nu moet ik echter de andere waarde invullen,
\(\sqrt[b]{\lambda}-1\)
. Als ik dat invul krijg ik een functie afhankelijk van \(\lambda\)
en \(b\)
:\(1+b(\frac{1}{\sqrt[b]{\lambda}}-1)\)
Deze moet ik volgens de opdracht vervolgens gelijkstellen aan -1, 0 en 1 en vervolgens daarvan drie krommen tekenen in een assenstelsel met \(\lambda\)
op de x-as en b op de y-as.Mijn idee was dus om bijvoorbeeld de vergelijking
\(-1=1+b(\frac{1}{\sqrt[b]{\lambda}}-1)\)
om te schrijven naar een formule van de vorm 'b = ietsmetlabda' en vervolgens gewoon de functie te plotten. Het probleem is nu dat het me niet lukt om de formule naar die vorm om te schrijven. Het enige waar ik op uitkom is\(b=\frac{-2\lambda ^{2/b}}{(\lambda -1)^{1/b}}\)
waarbij er nog altijd b aan de rechterkant zit.Weet iemand hoe ik dit anders kan doen, of ben ik ergens de fout in gegaan?
Alvast bedankt.
En bij gelijkstelling aan 1, komt er labda=1 uit, of niet?
