Springen naar inhoud

[wiskunde] differentieerbaarheid van functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 februari 2007 - 20:52

(a) Zij f: R>R continue in 0 en zij g: R>R gedefinieerd door g(x) = x f(x), voor x in R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathieu_vd

    mathieu_vd


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 februari 2007 - 21:38

hint: f is CONTINU.

#3

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 februari 2007 - 21:42

hint: f is CONTINU.


Ja, dat weet ik. Welke stelling of welk lemma kunnen we gebruiken om te bewijzen dat als een functie in een bepaald punt continue is, dat dan de functie in dat punt ook differentieerbaar is?

#4

mathieu_vd

    mathieu_vd


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 februari 2007 - 21:52

(a) Zij f: R>R continue in 0 en zij g: R>R gedefinieerd door g(x) = x f(x), voor x in R. Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.


"Elke differentieerbare functie is continu, maar niet elke continue functie is differentieerbaar"

Bewijs dat g differentieerbaar is in 0.


Voor elke g... om moet je gewoon een g zoeken? Indien je gewoon een g zoekt die differentieerbaar is, dan is dit niet zo moeilijk. Maar je kan de stelling dus niet veralgemenen volgens mij.

#5

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 februari 2007 - 21:57

Als de limiet van x naar a van (f(x) - f(a)) / (x - a) = b, met b in R, bestaat, dan is f(x) in het punt a differentieerbaar. Klopt dat? Dat heb ik volgens mij nodig. Maar hoe kan ik hier continuiteit bij betrekken?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 februari 2007 - 22:38

Aangezien f continu is in x = 0, geldt daar:

LaTeX

Differentieerbaarheid van g(x) uitschrijven en dit gebruiken:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 maart 2007 - 09:31

Oke, dankjewel. Stel dat f een begrensde functie is, d.w.z. dat er een M>0 bestaat zodat abs( f(x) ) kleiner of gelijk is aan M voor alle x in R. Zij g(x) = x^2 f(x) met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat g differentieerbaar is in 0?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 maart 2007 - 15:16

LaTeX

Gegeven is dat f begrensd is, 0*begrensd = 0, de limiet is dus 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2007 - 16:01

Ik heb nog een soortgelijke vraag:

Toon aan dat de functie h: R -> R gedefinieerd door h(x) = x^2 sin (1/x) voor R ongelijk aan 0 en h(0)=0, differentieerbaar is in 0. En laat met behulp van h'(0) zien dat de functie h' niet continue is in 0.

Het lijkt me niet een hele moeilijke vraag, maar zit toch een beetje met de formulering...

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 maart 2007 - 16:07

LaTeX

De afgeleide:

LaTeX

Heeft deze een limiet voor x naar 0?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2007 - 16:14

LaTeX



De afgeleide:

LaTeX

Heeft deze een limiet voor x naar 0?


Nee, inderdaad niet, dus is de afgeleide functie niet continue in het punt 0 :wink:

Er zijn ook vragen die omgekeerd gaan. Die vind ik zelf ook nogal lastig. Als bijvoorbeeld van een functie f: R->R gegeven is dat hij differentieerbaar is in 0, dat f(0)=0 en dat f(x)=x g(x), met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat er een functie g: R->R bestaat, die continue is in 0?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 maart 2007 - 16:26

Er zijn ook vragen die omgekeerd gaan. Die vind ik zelf ook nogal lastig. Als bijvoorbeeld van een functie f: R->R gegeven is dat hij differentieerbaar is in 0, dat f(0)=0 en dat f(x)=x g(x), met x in R. Hoe kan ik dan aantonen dat er een functie g: R->R bestaat, die continue is in 0?

Uitschrijven van afleidbaarheid van f in x = 0:

LaTeX

Maar f(x) is te schrijven x.g(x), dus dan weten we:

LaTeX

En dit is precies continu´teit van g in x = 0, met als functiewaarde f'(0).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures