Springen naar inhoud

differentiaalvergelijkingen - contracties


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Saraatje

    Saraatje


  • >25 berichten
  • 49 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2007 - 12:04

LaTeX

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 maart 2007 - 13:05

Met f is continu in x en y bedoel je neem ik aan dat f continu is op zijn domein;
dus niet dat f continu is in elke co÷rdinaat afzonderlijk, hetgeen heel wat anders is.

Bedoel je met f is Lipschitzcontinu in y met constante L dat
|f(x,y)-f(x,v)| < L|y-v| voor alle y,v en x?

#3

Saraatje

    Saraatje


  • >25 berichten
  • 49 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2007 - 13:31

Ja inderdaad, f is continu op zijn domein.

Ook Lipschitz-continu klopt, dus d(F(u),F(v)) <= L d(u,v) Voor alle u,v

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 maart 2007 - 13:37

Je moet aantonen dat er een getal k bestaat met 0<k<1 zodat
LaTeX voor alle continue functies u en v op I.
Dus je wilt dat
LaTeX

ofwel dat
LaTeX
Nu is vanwege de Lipschitzcontinuiteit van f in y
LaTeX

Er is dus sprake van een contractie als er een k bestaat met 0<k<1 zo dat
LaTeX

De waarde van LaTeX zal sterk afhangen van de functies u en v die je kiest. Stijgt het verschil u(x)-v(x) exponentieel dan zul je alpha groot moeten kiezen.

#5

Saraatje

    Saraatje


  • >25 berichten
  • 49 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2007 - 13:48

Merci, volgens mij begrijp ik het, maar ik ga het ook even zelf doen natuurlijk... [rr]

#6

Saraatje

    Saraatje


  • >25 berichten
  • 49 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 maart 2007 - 12:59

Ok, ik begrijp het, duizendmaal dank! Maar hoe laat ik zien dat een afbeelding een contractie is, wanneer deze afbeelding 'opgesplitst' is? Bijvoorbeeld:
LaTeX
Enig idee?

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 03 maart 2007 - 15:15

Zeg LaTeX
Dan moet je laten zien dat er een k bestaat met 0<k<1 zo dat
LaTeX
Dus dat
LaTeX
Kies LaTeX
We willen nu aantonen dat
LaTeX
ofwel, dat voor x [rr] y
LaTeX
Nu is LaTeX monotoon stijgend (dus differentiequotient altijd positief of 0), dus is het voldoende aan te tonen dat voor x > y
LaTeX
Daat h strikt dalend is met maximum h(0)=1, is voor x > y
LaTeX
hetgeen aan te tonen was.

#8

Saraatje

    Saraatje


  • >25 berichten
  • 49 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 maart 2007 - 20:43

Er is dus sprake van een contractie als er een k bestaat met 0<k<1 zo dat
LaTeX


Waarom volgt uit:
LaTeX
en
LaTeX
dat
LaTeX
Je kunt de twee ongelijkheiden toch niet zomaar samenvoegen? Of is het vanwege het verschil in ongelijkheid en strikte ongelijkheid.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures