Springen naar inhoud

Lineaire differentievergelijking 2e orde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

rennie

    rennie


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 maart 2007 - 12:59

Stel je hebt een lineaire differentievergelijking van tweede orde met
constante coŽfficiŽnten en met een rechterlid van de vorm ar^n waarbij
a en r gegeven reŽle getallen zijn, beiden verschillend van nul.
In onze cursus staat dat de oplossing van deze vergelijking van de vorm
yn= ? * n^2 *r^n (met ? een reŽl getal) bestaat als en slechts als r een
dubbele wortel is van de karakteristieke vergelijking.

in de bijlage zit mijn (bescheiden) start. iemand een idee om dit probleem aan te pakken?

kusjes
rennie

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 04 maart 2007 - 13:11

Dat is mij bekend. Die bijlage is nogal lastig te lezen. :)
Geef een voorbeeldje.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 maart 2007 - 15:40

Voor de duidelijkheid: de bijlage ontbreekt.
Plaats het ergens online of geef je werk hier in, met LaTeX bijvoorbeeld.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

rennie

    rennie


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 maart 2007 - 15:42

bijlage toegevoegd Geplaatste afbeelding

de opzet is om het in het algemeen aan te tonen

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 04 maart 2007 - 15:56

Geplaatste afbeelding

#6

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2007 - 23:05

Ik heb een gelijkaardige opdracht gekregen. Ik heb het volgende geprobeerd, maar het klopt niet denk ik:

We moeten een oplossing vinden van de volgende vergelijking:
LaTeX . We weten dat r een dubbele wortel is van de karakteristieke vgl, dus:

r+br+cr=0 <=> r(1+b+c)=0 <=> (1+b+c)=0 want r mocht niet gelijk zijn aan nul.

Omdat r een dubbele wortel is, is nr ook een wortel, dus:

r(n+2)+br(n+1)+crn=0
<=> rn + 2r + brn + br + crn = 0
<=> rn(1+b+c) + 2r + br = 0
Van (1+b+c) weten we dat het gelijk is aan nul, dus:
rn*0 + 2r + br = 0 <=> 2r + br = 0 <=> r(2+b) = 0 <=> 2+b=0 <=> b=-2

Als b gelijk is aan -2 kunnen we ook c berekenen, want 1+b+c = 0 <=> 1-2+c = 0 <=> c=1

Dit geeft ons de volgende vergelijking:
LaTeX

We doen een voorstel voor een mogelijke oplossing van die vergelijking, namelijk:
LaTeX met alfa nog te berekenen.

Dit geeft ons:

LaTeX

Mijn redenering gaat nog verder, maar ik zit al zoveel in te typen, en het gaat misschien in het begin al fout.. Dus misschien dat jullie dit best eerst even bekijken!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 maart 2007 - 13:38

Het is veel simpeler dan je denkt.
Stel LaTeX is een oplossing van de recursie.
Invullen in LaTeX geeft
LaTeX voor alle n.
Deel dit ding door LaTeX , dan krijgen we
LaTeX voor alle n.
Haakjes uitwerken geeft:
LaTeX voor alle n
Dat is alleen mogelijk voor alle n als
LaTeX
Uit de tweede vergelijking volgt LaTeX
Invullen in de eerste vergelijking geeft:
LaTeX
We veronderstellen uiteraard dat p[ongelijk]0 en r[ongelijk]0.
De discriminant van de characteristieke vergelijking is LaTeX
Met LaTeX is dit
LaTeX
Dus een speciale oplossing LaTeX impliceert dat de discriminant van de characteristieke vergelijking 0 moet zijn.
Omgekeerd, een oplossing van de vorm LaTeX met p[ongelijk]0 bestaat slechts als de discriminant 0 is en LaTeX .

QED

#8

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 maart 2007 - 19:46

De discriminant van de characteristieke vergelijking is LaTeX


Van welke vergelijking is dit de discriminant? Ik zie wel dat er staat: 'van de karakteristieke vgl', maar daar zie ik toch die discriminant niet in.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 maart 2007 - 19:49

De karakteristieke vergelijking van LaTeX , cfr b≤-4ac met a = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 maart 2007 - 19:58

Haakjes uitwerken geeft:
LaTeX

voor alle n
Dat is alleen mogelijk voor alle n als
LaTeX


Op die manier maak je toch alleen de eerste twee termen nul? Wat dan met (bpr+4pr≥-a)? Dat moet je toch ook nog nul maken?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 maart 2007 - 22:23

Daar heb je gelijk in, maar dat hebben we niet nodig voor het bewijs.

Er geldt nog:
Een oplossing van de vorm met LaTeX met p[ongelijk]0 bestaat slechts voor LaTeX , en als LaTeX en LaTeX .
In dat geval is dus de discriminant 0.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures