Stel je hebt een lineaire differentievergelijking van tweede orde met
constante coëfficiënten en met een rechterlid van de vorm ar^n waarbij
a en r gegeven reële getallen zijn, beiden verschillend van nul.
In onze cursus staat dat de oplossing van deze vergelijking van de vorm
yn= ? * n^2 *r^n (met ? een reël getal) bestaat als en slechts als r een
dubbele wortel is van de karakteristieke vergelijking.
in de bijlage zit mijn (bescheiden) start. iemand een idee om dit probleem aan te pakken?
kusjes
rennie
Laatste berichten
-
08:29
Programmeren met vectoren 5
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Lineaire differentievergelijking 2e orde
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
Dat is mij bekend. Die bijlage is nogal lastig te lezen. 
Geef een voorbeeldje.
Geef een voorbeeldje.
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
Voor de duidelijkheid: de bijlage ontbreekt.
Plaats het ergens online of geef je werk hier in, met LaTeX bijvoorbeeld.
Plaats het ergens online of geef je werk hier in, met LaTeX bijvoorbeeld.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
bijlage toegevoegd 
de opzet is om het in het algemeen aan te tonen
de opzet is om het in het algemeen aan te tonen
-
- Berichten: 824
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
Ik heb een gelijkaardige opdracht gekregen. Ik heb het volgende geprobeerd, maar het klopt niet denk ik:
We moeten een oplossing vinden van de volgende vergelijking:
r+br+cr=0 <=> r(1+b+c)=0 <=> (1+b+c)=0 want r mocht niet gelijk zijn aan nul.
Omdat r een dubbele wortel is, is nr ook een wortel, dus:
r(n+2)+br(n+1)+crn=0
<=> rn + 2r + brn + br + crn = 0
<=> rn(1+b+c) + 2r + br = 0
Van (1+b+c) weten we dat het gelijk is aan nul, dus:
rn*0 + 2r + br = 0 <=> 2r + br = 0 <=> r(2+b) = 0 <=> 2+b=0 <=> b=-2
Als b gelijk is aan -2 kunnen we ook c berekenen, want 1+b+c = 0 <=> 1-2+c = 0 <=> c=1
Dit geeft ons de volgende vergelijking:
Dit geeft ons:
We moeten een oplossing vinden van de volgende vergelijking:
\(y_{n+2} + by_{n+1}+cy_n=ar^n\)
. We weten dat r een dubbele wortel is van de karakteristieke vgl, dus:r+br+cr=0 <=> r(1+b+c)=0 <=> (1+b+c)=0 want r mocht niet gelijk zijn aan nul.
Omdat r een dubbele wortel is, is nr ook een wortel, dus:
r(n+2)+br(n+1)+crn=0
<=> rn + 2r + brn + br + crn = 0
<=> rn(1+b+c) + 2r + br = 0
Van (1+b+c) weten we dat het gelijk is aan nul, dus:
rn*0 + 2r + br = 0 <=> 2r + br = 0 <=> r(2+b) = 0 <=> 2+b=0 <=> b=-2
Als b gelijk is aan -2 kunnen we ook c berekenen, want 1+b+c = 0 <=> 1-2+c = 0 <=> c=1
Dit geeft ons de volgende vergelijking:
\(y_{n+2} -2y_{n+1}+y_n=ar^n\)
We doen een voorstel voor een mogelijke oplossing van die vergelijking, namelijk:\(y_n=\alpha n^2 r^n\)
met alfa nog te berekenen.Dit geeft ons:
\( \alpha (n+2)^2 r^{n+2} + b\alpha (n+1)^2 r^{n+1} + c\alpha n^2 r^n = ar^n \Leftrightarrow \alpha (n+2)^2 r^2 -2 \alpha (n+1)^2 r + \alpha n^2=a\)
Mijn redenering gaat nog verder, maar ik zit al zoveel in te typen, en het gaat misschien in het begin al fout.. Dus misschien dat jullie dit best eerst even bekijken!Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
Het is veel simpeler dan je denkt.
Stel
Invullen in
Deel dit ding door
Haakjes uitwerken geeft:
Dat is alleen mogelijk voor alle n als
De discriminant van de characteristieke vergelijking is
Omgekeerd, een oplossing van de vorm
QED
Stel
\(y_n = pn^2r^n\)
is een oplossing van de recursie.Invullen in
\(y_{n+2} + by_{n+1} + cy_n = ar^n\)
geeft\(p(n+2)^2r^{n+2} + bp(n+1)^2r^{n+1}+cpn^2r^n = ar^n\)
voor alle n.Deel dit ding door
\(r^n\)
, dan krijgen we\(p(n+2)^2r^{2} + bp(n+1)^2r+cpn^2 = a\)
voor alle n.Haakjes uitwerken geeft:
\((pr^2+cp+bpr)n^2+(2bpr+4pr^2)n+bpr+4pr^2-a = 0\)
voor alle nDat is alleen mogelijk voor alle n als
\(pr^2+cp+bpr =0 \mbox{ en } 2bpr+4pr^2 = 0\)
Uit de tweede vergelijking volgt \(p=0 \mbox{ of } r=0 \mbox{ of } b = -2r\)
Invullen in de eerste vergelijking geeft:\(p=0 \mbox{ of } (r=0 \mbox{ en } c=0) \mbox{ of } (b=-2r \mbox{ en } c=r^2)\)
We veronderstellen uiteraard dat p[ongelijk]0 en r[ongelijk]0.De discriminant van de characteristieke vergelijking is
\(b^2-4c\)
Met \(b=-2r \mbox{ en } c=r^2\)
is dit\(4r^2 - 4r^2 = 0\)
Dus een speciale oplossing \(y_n = pn^2r^n\)
impliceert dat de discriminant van de characteristieke vergelijking 0 moet zijn.Omgekeerd, een oplossing van de vorm
\(y_n = pn^2r^n\)
met p[ongelijk]0 bestaat slechts als de discriminant 0 is en \(c = \sqrt{r}\)
.QED
-
- Berichten: 824
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
De discriminant van de characteristieke vergelijking is\(b^2-4c\)
Van welke vergelijking is dit de discriminant? Ik zie wel dat er staat: 'van de karakteristieke vgl', maar daar zie ik toch die discriminant niet in.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
-
- Berichten: 24.578
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
De karakteristieke vergelijking van
\(y_{n+2} + by_{n+1} + cy_n\)
, cfr b²-4ac met a = 1."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 824
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
PeterPan schreef:Haakjes uitwerken geeft:
\((pr^2+cp+bpr)n^2+(2bpr+4pr^2)n+bpr+4pr^2-a = 0\)voor alle n
Dat is alleen mogelijk voor alle n als
\(pr^2+cp+bpr =0 \mbox{ en } 2bpr+4pr^2 = 0\)
Op die manier maak je toch alleen de eerste twee termen nul? Wat dan met (bpr+4pr³-a)? Dat moet je toch ook nog nul maken?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Re: Lineaire differentievergelijking 2e orde
Daar heb je gelijk in, maar dat hebben we niet nodig voor het bewijs.
Er geldt nog:
Een oplossing van de vorm met
In dat geval is dus de discriminant 0.
Er geldt nog:
Een oplossing van de vorm met
\(y_n=pn^2r^n\)
met p[ongelijk]0 bestaat slechts voor \(p = \frac{a}{2r^2}\)
, en als \(b=-2r\)
en \(c=r^2\)
.In dat geval is dus de discriminant 0.
