[fysica] Arbeid, energie (theorema's)

bibliotheek357

Hallo mensen, ik zit momenteel aan een bepaald hoofdstuk over arbeid, energie en vermogen bij fysica. Maar ik snap de theorie niet zo goed en hoop dat jullie me een beetje verduidelijking kunnen geven.

Het gaat hierbij om:

Arbeid-energietheorema 1:

De arbeid die door de resulterende kracht op een systeem verrricht wordt (tussen twee punten) is gelijk aan de verandering van de kinetische energie van het systeem (tussen die twee punten).

Dit snap ik nog wel, de kinetische energie van een systeem op 1 punt min de kinetische energie van dat systeem op een ander punt, is gelijk aan de geleverde arbeid. (correct?)

Behoud van mechanische energie van een systeem:

(conservatieve en niet-conservatieve krachten)

De arbeid Wc (= arbeid, geleverd door conservatieve kracht) op een voorwerp dat van een punt 1 naar een punt 2 beweegt, kan uitgedrukt worden als Epot(1) - Epot(2).

Dus dit is hetzelfde principe als bij Arbeid-energietheorema 1 ?

Wat is dan het verschil nu weeral tussen die potentiele en de kinetische energie?

Arbeid-energietheorema 2:

Er wordt ook gezegd dat Emech (mechanische energie) = E(kin) + E(pot)

Wat is die mechanische energie dan precies? Wat stelt het voor? De arbeid, geleverd door de niet-conservatieve kracht is namelijk het verschil tussen Emech(2) - Emech(1). (volgens het handboek)

En tenslotte behoud van mechanische energie:

Als op een systeem enkel conservatieve krachten werken of als de niet-conservatieve krachten elkaar compenseren, is de mechanische energie van het systeem constant.

Wat wordt hier precies gezegd? (zou helpen als ik wist wat die mechanische energie nu precies is)

Het handboek is interactie 6² van uitgeverij Die Keure, mocht het van belang zijn. Ik weet dat het veel vragen zijn, maar ik kan praktisch alle opgegeven oef niet maken, dus ik moet de theorie eerst beter begrijpen. Ik zou het echt waarderen, mocht er iemand (of meerderen natuurlijk) zijn die bereid is mijn vragen te beantwoorden, al is het slechts 1.

Phys

Om te beginnen, welk niveau volg je?

\(W=K_2-K_1=\Delta K\)

en

\(W=U_1-U_2=-\Delta U\)

met \(K\) de kinetische en \(U\) de potentiële energie.

Het verschil is dus het minteken. Dit is logisch, de totale mechanische energie is

\(E=K+U\)

. Dus bij stijging van de potentiële ernergie (bijvoorbeeld een honkbal die stijgt) neemt de kinetische energie af (zijn snelheid neemt namelijk af). Als de honkbal op het hoogste punt is, is K=0 en U is maximaal: U=E. Net voor het bereiken van de grond is U=0 en K is maximaal: K=E.

K en U gaan dus steeds in elkaar over bij conservatieve krachten.

Bedenk dus dat voor conservatieve krachten geldt:

\(K_1+U_1=K_2+U_2\)

oftewel E is constant:

\(E_1=E_2\)

.

Als non-conservatieve krachten arbeid leveren geldt:

\(K_1+U_1+W_{non-conservatief}=K_2+U_2\)

oftewel

\(E_1+W_{non-conservatief}=E_2\)

\(\rightarrow W_{non-conservatief}=E_2-E_1=\Delta E\)

: arbeid geleverd door non-conservatieve krachten is gelijk aan het verschil in mechanische energie.

Dit is in overeenstemming met de bewering dat de mechanische energie van een systeem constant is als "op een systeem enkel conservatieve krachten werken of als de niet-conservatieve krachten elkaar compenseren". Hier is dat niet het geval, en is het verschil in mechanische energie gelijk aan de arbeid door die non-conservatieve krachten.

Schept dit enige duidelijkheid?

Rov

Om te beginnen, welk niveau volg je?

Als bibliotheek357 een Belg is zit hij vast en zeker in het 6e middelbaar (omdat dat de standaard 6e middelbaar leerstof is).

Phys schreef:
\(W=K_2-K_1=\Delta K\)
en

\(W=U_1-U_2=-\Delta U\)
met \(K\) de kinetische en \(U\) de potentiële energie.

Het verschil is dus het minteken. Dit is logisch(...)

[rr] Logisch? Ik zou niet weten waarom dat zo logisch is?

Om het te begrijpen moeten we terug naar wat we met potentieële energie bedoelen.

Potentieële energie, de potentie op energie te lever (tov iets, bijvoorbeeld de aarde). Stijgt de potentieële energie (noem het U, dat typt makkelijker), dus stijgt U (door bijvoorbeeld een stijging in hoogte) dan zal W (=U2-U1) >0. Daalt U, dan zal W<0. Je verliest dus U (je voorwerp valt) maar de totale energie moet worden behouden. Vandaar het minteken. W = -(U2-U1) = U1-U2.

Het standaard voorbeeld van een conservatieve kracht is de zwaartekracht. Het gevolgde pad heeft geen invloed op de totale energie. Als je in een luchtballon zit heb je evenveel gravitatie energie als je van hoogte 1 naar hoogte 2 gaat in een rechte lijn dan met een hele reeks aan bochten, stijgingen en dalingen. Zwaartekracht is dus conservatief.

Een simpel voorbeeld van een niet conservatieve kracht valt me niet meteen binnen (toch geen mechanica voorbeeld).

Phys

Logisch? Ik zou niet weten waarom dat zo logisch is?

Oké, ik drukte me misschien verkeerd uit.

Ik bedoelde dat het logisch in te zien is, als je weet dat geldt

\(E_1=E_2\)

oftewel

\(K_1+U_1=K_2+U_2\)

Dan zie je meteen dat

\(\Delta K=-\Delta U\)

.

Dus als je ziet dat

\(W=\Delta K\)

, zie je ook meteen dat

\(W=-\Delta U\)

.

Maar deze dingen zijn juist andersom afgeleid, dat weet ik. Vaak weet je echter al, zonder afleiding dat

\(E_1=E_2\)

(tenminste, zo was het bij ons op de middelbare school: er werd gewoon gepostuleerd dat de mechanische energie constant bleef) en dan zijn deze dingen gemakkelijk in te zien.

bibliotheek357: is het iets duidelijker nu?

vraag gerust door [rr]

bibliotheek357

Om te beginnen, bedankt voor jullie replies [rr]

@Rov: Dat heb je goed, ik zit in het 6e middelbaar (in Diest) en volg wetenschappen-wiskunde.

Nu, ik snap wel wat die conservatieve en niet-conservatieve krachten zijn (er staan ook enkele vben van in het hb)

Voor niet-conservatieve krachten wordt gegeven: wrijvingskracht, lichaamskracht, normaalkracht, ...

Nu snap ik (dankzij jullie

) wat die potentiele energie en die kinetische energie precies inhoudt (het is een jaar geleden

), maar die mechanisch energie snap ik nog niet goed. Dus uw kinetische energie is de arbeid geleverd door uw snelheid. De potentiele energie is dan de arbeid geleverd door het hoogteverschil met de aarde (en wordt dus beïnvloedt door de versnelling g?).

Mag ik ook veronderstellen dat K dus omgekeerd evenredig is met U?

Maar als ik K en U optel, wat bekom ik dan precies? Wat stelt die mechanische energie nu voor.

Ik zal een oef die ik moet maken erbij geven die mss helpt bij het uitleggen:

Sam (massa 63,0 kg) krijgt voor zijn verjaardag een benjijump cadeau. Bij die sprong valt hij vanuit rust aan een 40m lang elastisch touw naar beneden. In het laagste punt is het touw 25m uitgerekt. Bereken de arbeid die de elastiek op hm verricht tijdens de rek.

Dus hier werkt alvast de zwaartekracht op in (we moeten nog geen rekening houden met luchtweerstand). Als ik het ongeveer goed begrepen heb moet ik de kinetische energie berekenen op -40m hoogte (vanuit rust dus K=0). Dan heb ik K op -40m hoogte, doe ik dan hetzelfde voor potentiele energie? Zoja, dan kan ik die optellen voor de mechanische energie op -40m hoogte (wat het ook moge zijn..). Verder werd dus gegeven dat die 25m uitrekt... Hier zit ik al helemaal in de knoop

Rov

Dat vind ik al best een heftig vraagstuk als je nog niet zo bekend bent met de termen over energie, arbeid, ...

Je bedoelt het goed volgens mij, maar je zegt sommige dingen verkeerd:

"kinetische energie is de arbeid..."

De kinetische energie is de energie die je hebt door je snelheid, en met die energie kan je arbeid verrichten. Energie is niet per sé arbeid.

Analoog is potentieële energie, energie die je bezit tegenover de aarde.

Over je vraagstuk:

De arbeid door de elastiek wordt gegeven door:

\(W = - \int_{x_i}^{x_f}F_y dy =- \int_{25}^{0}mgdy = \int_{0}^{25}mgdy = mg \int_{0}^{25}dy = mgy \left|^{25}_{0} \)

Als je dit niet snapt, dan negeer het en beginnen we opnieuw.

aadkr

\(40=\frac{1}{2}.g.t^2\)

g=9,8

t=2,857 s

v=g.t

v(40)=9,8. 2,857=27,998 m/s

De negatieve arbeid, die door het elastiek wordt geleverd op de persoon gedurende 25 meter is

\(\frac{1}{2}.C. 25^2\)

Dit is gelijk aan:

\(\frac{1}{2} . 63. 27,998^2 + 63. 9,8 . 25 =40127,4 J\)

Morgen gaan we vrolijk verder

Rov

Kan je die berekening wat toelichten, want ik volg je niet.

Phys

Okee, ik wil dat je het volledig en goed begrijpt, dus neem a.u.b. even de tijd om dit door te nemen.

Dus uw kinetische energie is de arbeid geleverd door uw snelheid

Let op je notatie. Alles aan deze zin is natuurkundig gezien fout!

Snelheid kan geen arbeid leveren: een kracht levert arbeid. Kracht veroorzaakt een versnelling. Zo krijgt een voorwerp een andere snelheid. Ik zal even terug gaan naar de basis, dan begrijp je het misschien beter.

Beschouw een deeltje met massa m langs de x-as, de beweging wordt veroorzaakt door een constante kracht F langs die x-as. De versnelling van het deeltje is constant volgens \(F=ma_x\).

Bekijk nu de situatie dat de snelheid verandert van \(v_1\) naar \(v_2\), terwijl het deeltje van positie \(x_1\) naar \(x_2\) gaat: \(s=x_2-x_1\).

Na wat algebra krijg je de formule

\(v_2^2=v_1^2+2a_xs\rightarrow a_x=\frac{v_2^2-v_1^2}{2s}\)

We zien nu:

\(F=ma_x=m\frac{v_2^2-v_1^2}{2s}\)

Je weet dat ééndimensionale arbeid gedefinieerd is als

\(W=F\cdot s\)

dus

\(W=\left(m\frac{v_2^2-v_1^2}{2s}\right)\cdot s=m\frac{v_2^2-v_1^2}{2}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2\)

.

Het is nu handig om

\(\frac{1}{2}mv^2\)

een naam te geven. We doen dit en noemen het kinetische energie.

'Kinetisch' betekent 'betrekking hebbend op beweging'.

'Energie' betekent zoiets als 'vermogen om arbeid te leveren'. Het is een vrij abstract begrip. We kunnen het dus niet goed concretiseren.

Om terug te komen op je bewering

Dus uw kinetische energie is de arbeid geleverd door uw snelheid

Kinetische energie is gedefinieerd als

\(K=\frac{1}{2}mv^2\)

. Het is, zoals de naam ook zegt, direct afhankelijk van snelheid. Hoe hoger de snelheid, hoe hoger de kintetische energie. Bij stilstand, v=0, is de kinetische energie nul: K=0.

Kinetische energie en arbeid verhouden zich als:

\(W_{\tot}=K_2-K_1=\Delta K\)

.

De VERANDERING van de kinetische energie is GELIJK AAN de geleverde arbeid. De snelheidsverandering speelt inderdaad een grote rol.

De potentiele energie is dan de arbeid geleverd door het hoogteverschil met de aarde (en wordt dus beïnvloedt door de versnelling g?).

Opnieuw de afleiding van de formule:

Beschouw een lichaam met massa m dat langs de vertical y-as beweegt: bijvoorbeeld een omhoog gegooide bal. De kracht die hierop werkt is de zwaartekracht

\(F_z=m\cdot g\)

. Opnieuw berekenen we de verrichte arbeid door de zwaartekracht, wanneer de bal van een hoogte \(y_1\) naar een lagere hoogte \(y_2\) valt. De verrichte arbeid en de verplaatsing zijn in dezelfde richting (richting aarde), dus W is positief.

\(W=F\cdot s=(m\cdot g)\cdot(y_1-y_2)=mgy_1-mgy_2\)

Het is nu handig om

\(mgy\)

een naam te geven. We doen dit en noemen het potentiële energie.

Potentiële energie en arbeid verhouden zich als

\(W=U_1-U_2=-\Delta U\)

.

Als het lichaam omhoog beweegt, neemt y toe. De zwaartekracht werkt dan in tegengestelde richting! De verrichte arbeid is dus negatief, en de potentiële energie neemt toe: \(\Delta U>0\)

Als het lichaam omlaag beweegt, neemt y af. De zwaartekracht werkt dan in dezelfde richting! De verrichte arbeid is dus positief, en de potentiële energie neemt af: \(\Delta U<0\).

Om terug te komen op je bewering

De potentiele energie is dan de arbeid geleverd door het hoogteverschil met de aarde (en wordt dus beïnvloedt door de versnelling g?).

De potentiële energie is een gedeelde eigenschap van een lichaam en de aarde. Potentiële energie neemt toe als de aarde stilstaat en de hoogte van het lichaam toeneemt. Maar de potentiële energie neemt óók toe als het lichaam stilstaat en de aarde zich van het lichaam af beweegt. Je ziet dat ook terug in de formule:

\(U=mgy\)

bevat zowel een karakteristiek van het lichaam (m) als een van de aarde (de waarde van g).

Maar als ik K en U optel, wat bekom ik dan precies? Wat stelt die mechanische energie nu voor.

Okee, we hebben nu K en we hebben U. Nu definiëren we de totale mechanische energie van het systeem als

\(E=K+U=\frac{1}{2}mv^2+mgy\)

Met 'systeem' bedoelen we het de massa m en en de aarde, samen beschouwd, omdat de potentiële energie een gedeelde eigenschap is van aarde en lichaam.

Wat het precies is, tja: zoals ik zei is energie een abstract begrip dat moeilijk concreet uit te leggen is.

Mag ik ook veronderstellen dat K dus omgekeerd evenredig is met U?

Dat is een erg gevaarlijke uitspraak. K hangt niet direct af van U. Het zijn twee aparte dingen, die samen opgeteld mechanische energie vormen. In het geval van conservatieve krachten blijft E gelijk en gaan K en U in elkaar over bij veranderende hoogte: een toename van K zorgt voor een afname in U en vice versa.

Maar K hangt af van de massa van het lichaam en zijn snelheid. NIET van U.

U hangt af van de massa van het lichaam en de hoogte boven de aarde. Niet van K.

Onthoud dit goed.

Ik zal een oef die ik moet maken erbij geven die mss helpt bij het uitleggen:

.

Lees dit hele verhaal eens goed en aandachtig door, en probeer het te begrijpen. Probeer het dan toe te passen op de oefening. Speel een gedachtenfilmpje af en bedenk wat er gebeurt.

Er is alleen de zwaartekracht en een veerkracht in het spel; beide conservatieve krachten. Ik raad je aan niet meteen getallen in te vullen, maar eerst even met m en y te werken.

Maak een schetsje, met daarin y1 en y2.

Zet alles op een rij en post hier hoe ver je komt.

Phys

Nu de antwoorden al gegeven zijn, zal ik hem op mijn manier (uitgebreid) uitwerken.

Het is belangrijk te begrijpen wat er gebeurt:

Het lichaam valt van een hoogte y=65 met beginsnelheid v(0)=0. Totdat de elastiek precies begint uit te rekken, dus als deze zijn 'normale' lengte heeft, werkt alleen de zwaartekracht op het lichaam naar beneden.

Dit is op y=25. Elastiek is namelijk 40 meter lang. Op dat moment begint de elastiek uit te rekken, en werkt er een elastiek-kracht tegengesteld aan de beweging: de elastiek wil zijn normale lengte hebben. Op y=0 is de elastiek uitgerekt: de laagste stand waarbij het lichaam stilhangt: v(eind)=0.

De potentiële energie, zoals ik die behandelde in mijn vorige bericht, dus de potentiële energie door toedoen van de zwaartekracht is:

\(U_z=mgy\)

De potentiële energie door toedoen van de elastiek-kracht (of meer algemeen: veerkracht) is anders gedefinieerd, namelijk als

\(U_{el}=\frac{1}{2}kx^2\)

waarbij x de uitwijking is van de veer van zijn NIET-UITGESTREKTE lengte. Dus x=0 is de evenwichtsstand.

Het verschil is dus dat je x=0 niet willekeurig mag kiezen, maar y=0 wel.

We moeten zoals altijd onderscheid maken tussen kinetische energie en potentiële energie. Echter, de potentiële energie is nu onderverdeeld in eentje door toedoen van de zwaartekracht

\(U_z\)

en eentje door toedoen van de elastiek-kracht

\(U_{\ell}\)

. Dus ten alle tijde geldt:

\(U_{\tot}=U_z+U_{el}\)

en daarom ook

\(\Delta U_{\tot}=\Delta U_z+\Delta U_{el}\)

De kinetische energie in niet onderverdeeld.

Krachten verrichten arbeid: de zwaartekracht verricht

\(W_z\)

en de elastiek-kracht verricht

\(W_{el}\)

.

We weten dat geldt

\(W_{\tot}=\Delta K\)

en

\(W_{\tot}=-\Delta U_{\tot}\)

.

Uit

\(\Delta U_{\tot}=\Delta U_z+\Delta U_{el}\)

volgt

\(W_{z}=-\Delta U_z\)

en

\(W_{el}=-\Delta U_{el}\)

.

Okee, nu beginnen we met rekenen.

We noemen y0=65, y1=25 en y2=0. Tussen y0 en y1 werkt alleen zwaartekracht, tussen y1 en y2 ook nog de elastiek-kracht.

v0 is de snelheid op y0 en die is 0.

v1 is de snelheid op y1 en berekenen we volgens:

\(s=\frac{1}{2}gt^2=40 \mbox{(lengte el\astiek)}\rightarrow t=\sqrt{\frac{80}{g}}\)

.

\(v_1=v_0+gt=0+g\sqrt{\frac{80}{g}}=\sqrt{80g}\)

.

v2 is de snelheid op y2 en die is nul (laagste stand).

Dus

\(\Delta K=K_2-K_1=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}m(0^2-\sqrt{80g}^2)=-40mg\)

\(W_{\tot}=\Delta K=-40mg\)

.

\(W_{\tot}=-\Delta U_{\tot}=-40mg\)

dus

\(U_{\tot}=40mg\)

Nu berekenen we de potentiële energie door toedoen van de zwaartekracht

\(U_z=mgy\)

.

\(\Delta U_z=U_{z,2}-U_{z,1}=mgy_2-mgy_1=mg(y_2-y_1)=mg(0-25)=-25mg\)

.

\(U_{el}=U_{\tot}-U_z=(40mg)-(-25mg)=65mg\)

.

Uiteindelijk bekomen we de arbeid verricht door de elastiek

\(W_{el}=-\Delta U_{el}=-65mg\)

Met m=63 en g=9.81 krijg je dan

\(W_{\ell}=-40172\mbox{ J}\)

Let dus goed op de min-tekens. De zwaartekracht verricht positieve arbeid, want de beweging is ook omlaag. De elastiek-kracht verricht negatieve arbeid, in tegengestelde richting van de beweging. De totale arbeid is negatief, omdat de beweging wordt afgeremd (dus de verandering in kinetische energie is negatief).

Je had ook andere waarden voor y kunnen nemen, omdat het alleen gaat om hoogteVERSCHILLEN. Maar blijf wel consequent de gekozen hoogtes goed invullen, en onthoud dat

\(\Delta U=U_2-U_1\)

en niet andersom.

Phys

****, ik bedenk met net dat het veel simpeler kan:

beginsnelheid en eindsnelheid zijn beide nul:

\(\Delta K=W_{\tot}=0\)

\(W_{\tot}=-\Delta U_{\tot}=0\)

\(\Delta U_{\tot}=\Delta U_z+\Delta U_{el}=0\rightarrow\)

\(-\Delta U_{el}=\Delta U_z=mg(y_2-y_0)=mg(0-65)=-65mg\)

Dus

\(W_{el}=-\Delta U_{el}=-65mg\)

ahum...dat scheelt nogal wat rekenwerk.

aadkr

Laten we het punt waar de man springt, punt A noemen.

En het punt na 40 meter noemen we punt B. ( het elastiek begint hiet een veerkracht uit te oefenen).

Weer 25 meter lager , komt de springer tot stilstand. Dit punt is punt C

Voor het gemak nemen we massa springer =100 kg.

g=10 m/s^2

Stap 1: Neem een nul -nivo van potentiele energie aan.

Handig is om punt C te kiezen . ( niet perse noodzakelijk)

Stap 2: Bereken de snelheid van de springer na 40 meter.

\(s=\frac{1}{2}.g.t^2\)

40=1/2 . 10 . t^2 t^2=8 t= Wortel(8)

v na 40 meter =g.t = 10 . Wortel(8) =20 . Wortel(2).

Stap:3 Bereken de mechanische energie in Punt A, B, en C zonder de veerkracht.

( dus een vrije valbeweging).

Punt A: E(kin)+E(pot) =0+m.g.+65 =100 . 10 . +65= + 65000 J.

Punt B:E(Kin)+E(pot)=1/2 . 100 . {20 Wortel(2)}^2 + 100.10.+25= 40000+25000=65000 J

Punt:C : E(Kin)+E(Pot) =E(Kin) + 0= 65000 . Dus: E(Kin) =65000 J

Stap:4

Bereken nu de werkelijke som van Pot. en Kin. energie in punt C .

Dit is vrij simpel 0+0=0 J.

Stap :5

Bebruik de formule: Mechanische Energie in punt C ( met alleen de zwaartekracht op het voorwerp) + De arbeid geleverd door de uitwendige kracht ( dus geen zwaartekracht) = Mechanische energie in punt C in werkelijke situatie.

65000 + ( Arbeid door veerkracht) =0

Arbeid door veerkracht =0 - 65000= - 65000 J.

Rov

Phys schreef:****, ik bedenk met net dat het veel simpeler kan:

beginsnelheid en eindsnelheid zijn beide nul:

\(\Delta K=W_{\tot}=0\)

\(W_{\tot}=-\Delta U_{\tot}=0\)

\(\Delta U_{\tot}=\Delta U_z+\Delta U_{el}=0\rightarrow\)

\(-\Delta U_{el}=\Delta U_z=mg(y_2-y_0)=mg(0-65)=-65mg\)
Dus
\(W_{el}=-\Delta U_{el}=-65mg\)

ahum...dat scheelt nogal wat rekenwerk.

Maar in rust verricht de veer toch geen arbeid. Die rustlengte van 40m heeft dus toch geen invloed? Vandaar mijn antwoord, 25mg.

Phys

bibliotheek357

Hartelijk bedankt voor jullie uitgewerkte voorbeelden! Ik heb alles kunnen volgen en snap nu hoe ik eraan kom. Ik heb ook al een goed idee van wat die mechanische energie nu is. (nog niet helemaal zeker, maar ik zal het vrijdag nog wel aan de leerkracht vragen).

En 25mg en -65000J is fout, phys had het bij het rechte eind, volgens de verbetering van het handboek [rr] Het moest -40*10³J zijn.

@Phys: je hebt zeker niet voor verwarring gezorgd, integendeel, ik snap het nu veel beter. Nogmaals hartelijk bedankt hiervoor ^_^

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[fysica] Arbeid, energie (theorema's)

[fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)

Re: [fysica] Arbeid, energie (theorema's)