Moderators: dirkwb, Xilvo
-
1.) Wat is de afgeleide van de functie
\(F\)
met
\(F(x) = \int_0^x f(x,t) dt\)
2.) De functie
\(f: \rr \mapsto \rr\)
is gedefinieerd door
\(f(x) = \sqrt{x(1-x)} \mbox{ als } x \in [0,1]\)
\(f(x) = 0 \mbox{ als } x \notin [0,1]\)
\(F(x,t) = f(x-t)\)
Bereken
\(\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} F(x,t) dx\)
Bericht
07-03-'07, 16:53
TD
-
- Berichten: 24.578
PeterPan schreef:1.) Wat is de afgeleide van de functie
\(F\)
met
\(F(x) = \int_0^x f(x,t) dt\)
Regel van Leibniz voor het afleiden van een integraal met veranderlijke grenzen.
Als ik me niet heb vergist met het invullen, komt dat hier neer op:
\(F'\left( x \right) = \frac{d}{{dx}}\int\limits_0^x {f\left( {x,t} \right)dt} = \int\limits_0^x {\frac{\partial }{{\partial x}}f\left( {x,t} \right)dt} + f\left( {x,x} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
Klopt. En voor wie de regel van Leibnitz niet kent kan het ook m.b.v. de definitie van afgeleide:
\(F'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{1}{h}(\int_0^{x+h} f(x+h,t) dt - \int_0^{x} f(x,t) dt) = \lim_{h \to 0}(\int_0^{x} \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h} dt + \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(x+h,t) dt)\)
Bericht
07-03-'07, 17:14
TD
-
- Berichten: 24.578
Onder voorwaarden die 'braafheid' van de integraal garanderen, geldt de eerste overgang in:
\(\frac{d}{{dt}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {F\left( {x,t} \right)dx} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\partial }{{\partial t}}F\left( {x,t} \right)dx} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{\partial }{{\partial t}}f\left( {x - t} \right)dx} \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 3.751
die laatste is mi 0, want
\(\int_{-\infty}^{\infty} F(x,t) dx\)
[/quote] is constant.
-
Correct. De vorm van de grafiek blijft gelijk (en verplaatst zich).
Merk op dat
\(\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} F(x,t) dx = 0\)
,
maar
\(\frac{\partial}{\partial t}\int_{-\infty}^{\infty} F(x,t) dx \neq 0\)
.
Bij de tweede integraal wordt geintegreerd over het domein op tijdstip t, dus de verplaatsing van de drager is niet verdisconteerd.
-
- Berichten: 3.751
PeterPan schreef:Correct. De vorm van de grafiek blijft gelijk (en verplaatst zich).
Merk op dat
\(\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} F(x,t) dx = 0\)
,
maar
\(\frac{\partial}{\partial t}\int_{-\infty}^{\infty} F(x,t) dx \neq 0\)
.
Bij de tweede integraal wordt geintegreerd over het domein op tijdstip t, dus de verplaatsing van de drager is niet verdisconteerd.
\(\int_{-\infty}^{\infty} F(x,t) dx = f(t)\)
en
\(\frac{d}{dt}f(t)="\frac{\partial}{\partial t}"f(t)\)
kortom, ik denk niet dat wat je beweert correct is.
