De uitwijking van een trillend voorwerp wordt gegeven door de formule
\(u=20\sin\left(12\pi t\right)\)
. Hierin is u in cm en t in seconden.a) Bereken de frequentie van de trilling.[/i]
--> Voor het berekenen van de frequentie heb je de formule
\(f=\frac{1}{T}\)
nodig. De trillingstijd \(T\)
is hetzelfde als de periode. De trillingstijd wordt dus \(T=\frac{2\pi}{12\pi}=\frac{1}{6}\)
. Nu kun je dit invullen in de formule voor de frequentie, waardoor je dit krijgt: \(f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\left(\frac{1}{6}\right)}=6\)
. Dit antwoord klopt (nagekeken in het antwoordenboekje).b) Welke afstand legt het voorwerp af in het tijdsinterval
\([0,1]\)
?[/i]--> Grafiek geplot met
\(X_{\min}=0\)
, \(X_{\max}=1\)
, \(Y_{\min}=-20\)
en \(Y_{\max}=20\)
. Die grafiek begint bij \(X=0\)
en \(Y=0\)
. Deze gaat dan omhoog naar \(Y=20\)
, naar \(Y=-20\)
, weer richting \(Y=20\)
etc. Er zijn in totaal 6 trillingen (oftewel de frequentie). Deze bestaan allemaal uit 4 delen (evenwichtsstand naar positieve top, positieve top naar evenwichtstand, evenwichtsstand naar negatieve top en negatieve top naar evenwichtsstand).De afstand is daarom
\(6\cdot4\cdot20=480cm\)
. Dit antwoord klopt.c) Bereken de gemiddelde snelheid op het tijdsinterval
\([0,\frac{1}{24}]\)
.[/i]--> Dezelfde grafiek geplot, alleen nu met
\(X_{\max}=\frac{1}{24}\)
. Dit leverde \(\frac{1}{4}e\)
trilling op. De snelheid kun je berekenen met \(v=\frac{s}{t}\)
. Invullen geeft \(v=\frac{s}{t}=\frac{20}{\left(\frac{1}{24}\right)}=480\frac{cm}{s}\)
. Ook dit antwoord klopt.d) Bereken met behulp van de afgeleide de snelheid van het voorwerp op
\(t=0\)
.[/i]--> Toepassing kettingregel.
\(u=20\sin(12\pi t)\)
// \(u=20\sin(v)\)
met \(v=12\pi t\)
\(u'= \frac{du}{dt}=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dt}= 20\cos(v)\cdot12\pi=240\pi \cos(12\pi t)\)
.Invullen geeft:
\(u'(0)=240\pi \cos(12\pi \cdot 0) = 240\pi \cdot 1 = 240\pi\)
Ook al goed [rr] Alleen nu die ik fout doe:
e) Voor welke
\(t\)
in het interval \([1,\frac{1}{24}]\)
is de snelheid 500cm/s? Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeuring.[/i]Hier mijn berekening:
\(u'=500\)
\(240\pi \cos(12\pi t)=500\)
\(\cos(12\pi t)=\frac{500}{240\pi}\)
Vanaf hier gaat het volgens mij fout:\(12\pi t=-\sin\left(\frac{500}{240\pi}\right)\)
\(t=\frac{-\sin\left(\frac{500}{240\pi}\right)}{12\pi}=-0,0069\)
Dit is echter fout, want er moet uitkomen \(t\approx0,0224s\)
.Kan iemand me helpen?
