Differentievergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 824

Differentievergelijking

Hoi, ik heb hier en daar wat probleempjes ivm differentievgl. Dit is er één van:

Het is de bedoeling de algemene oplossing te vinden van:
\(y_{n+1}-(n+1)y_n = 1\)
Ik weet al dat
\(y_{h,n}=n!\)
, maar een particuliere oplossing vind ik niet, dus kan ik die oplossing niet vormen...

Alvast bedankt!

Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Re: Differentievergelijking

\(y_{n} =n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Differentievergelijking

Een redenering is gewenst [rr]
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Re: Differentievergelijking

Hint: Probeer een oplossing in
\(g_n\)
te vinden met
\(g_n = n!y_n\)
.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Differentievergelijking

Waarvoor staat yn hier? De algemene oplossing?

Ik weet niet waar je naartoe wil.

Die gn invullen in de differentievgl?

Dan kom ik tot:
\((n+1)!y_{n+1}-(n+1)n!y_n=1 \Leftrightarrow y_{n+1}-y_n=\frac{1}{(n+1)!} \Leftrightarrow y_{n+1} = y_n+\frac{1}{(n+1)!} \Leftrightarrow y_n = y_{n-1}+\frac{1}{n!}\)
Dan zie ik daar een som in opdoemen in de aard van
\(\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n)!} + \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-2)!}\)
Verder ga ik voorlopig niet, wie weet doelde je hier niet eens op.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Re: Differentievergelijking

Substitutie van
\(y_n = n!g_n\)
geeft
\(g_{n}-g_{n-1} = \frac{1}{n!}\)
Dan is
\(g_{n}-g_0 = \sum_{k=1}^{n} (g_{k}-g_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\)
Dus
\(y_n = n!g_n = n!g_0 + n!\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Differentievergelijking

Maar dan snap ik nog altijd niet hoe je aan die substitie komt..
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Re: Differentievergelijking

Differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen zijn nauw met elkaar verwand.

Als je een differentiaalvergelijking hebt
\(y' + xy = 2x^2\)
dan zoek je eerst naar een algemene oplossing van
\(y' + xy = 0\)
Stel de algemene oplossing hiervan is
\(y=ce^x\)
(dat klopt niet, maar dat doet er niet toe).

Dan probeer je als speciale oplossing
\(y = C(x).e^x\)
Dan doe ik bij jouw differentievergelijking ook.

Algemene oplossing was n! voor de op 0 herleide vergelijking.

Probeeroplossing speciale oplossing y_n = n!g_n.

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Differentievergelijking

Dat is al wat duidelijker. Bedankt!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Reageer