Springen naar inhoud

binomium van Newton


  • Log in om te kunnen reageren

#1

sannn

    sannn


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2007 - 20:57

Hoi! Kan iemand mij de binomium van Newton uitleggen?
en binomiaalcoefficienten?

Want bijvoorbeeld met de driehoek van pascal, kun je die ook maken met binomiaalcoefficienten en dan zo makkelijker berekenen. Maar ik snap eigenlijk niet hoe ze aan die getallen komen?

Wie heeft er een makkelijke en duidelijke uitleg voor iemand zonder wiskundeknobbel?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 maart 2007 - 21:04

http://nl.wikipedia....mium_van_Newton
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#3

sannn

    sannn


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2007 - 21:09

http://nl.wikipedia....mium_van_Newton


Dat had ik al gelezen, maar maakt niet dat ik het snap. Wanneer gebruik je het bijvoorbeeld? En die coefficienten in de driehoek van pascal, hoe komen ze erop?

En je kunt binomium van Newton ook controleren. Eerst dan met n = 1 maar daarna met n = m en n = m + 1. Maar hoe kun je nou controleren met m? Want je weet m niet?

Ik ben echt een leek hierin, sorry [rr]

#4

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 maart 2007 - 21:13

En die coefficienten in de driehoek van pascal, hoe komen ze erop?

1
1 1

men maakt telkens de som van het getal erboven en het getal linksboven
de zijden worden aangevuld met 1'en

dus

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...

En je kunt binomium van Newton ook controleren. Eerst dan met n = 1 maar daarna met n = m en n = m + 1. Maar hoe kun je nou controleren met m? Want je weet m niet?  


zo bewijst men de formule (inductie noemt zo iets geloof ik)
men gaat er van uit:
"als de eigenschap geldt voor n, dan moet ze ook geldig zijn voor n+1"
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 maart 2007 - 21:14

Stel je wil (x+y) uitrekenen. Dat kan door (x+y)(x+y) distributief uit te werken. Je krijgt:

(x+y) = x+2xy+y = 1x + 2xy + 1y

Vervolgens kan je (x+y) uitrekenen, bijvoorbeeld via (x+y)(x+2xy+y). Je krijgt dit keer:

(x+y) = x+3xy+3xy+y = 1x + 3xy + 3xy + 3y

In het eerste geval vond je de cofficinten 1,2,1. Nu vind je 1,3,3,1. Herken je dit in de driehoek van Pascal?
Zo gaat dat verder, de volgende regel voor een vierde macht, dan vijfde macht enzovoort.
Die x+y is een som van twee termen, een "tweeterm" of ook: "binomium" - vandaar ook de naam.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

sannn

    sannn


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2007 - 21:20

Stel je wil (x+y) uitrekenen. Dat kan door (x+y)(x+y) distributief uit te werken. Je krijgt:

(x+y) = x+2xy+y = 1x + 2xy + 1y

Vervolgens kan je (x+y) uitrekenen, bijvoorbeeld via (x+y)(x+2xy+y). Je krijgt dit keer:

(x+y) = x+3xy+3xy+y = 1x + 3xy + 3xy + 3y

In het eerste geval vond je de cofficinten 1,2,1. Nu vind je 1,3,3,1. Herken je dit in de driehoek van Pascal?
Zo gaat dat verder, de volgende regel voor een vierde macht, dan vijfde macht enzovoort.
Die x+y is een som van twee termen, een "tweeterm" of ook: "binomium" - vandaar ook de naam.


Dank je, dit is echt een super goede uitleg!

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 maart 2007 - 21:21

Graag gedaan, nu begrijp je misschien ook iets meer van die wikipediapagina.
Als je nog met (meer specifieke) vragen zit, stel ze gerust maar wees duidelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Hoogvlieger

    Hoogvlieger


  • >250 berichten
  • 267 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2007 - 22:02

Met het binomium van Newton kun je makkelijk de machten van de som van twee grootheden uitschrijven. Zo kun je bijvoorbeeld de macht LaTeX uitschrijven als LaTeX en bijvoorbeeld LaTeX . Meer algemeen kun je met het binomium van Newton dus makkelijk LaTeX uitschrijven.

De getallen vr a en b, dus in het geval LaTeX de getallen 1, 2 en 1 (waarbij je LaTeX moet zien als LaTeX ) noemen we nu de binomiaalcoefficienten. Bij LaTeX zijn de binomiaalcoefficienten dus 1, 3, 3 en 1. Deze binomiaalcoefficienten kun je terugvinden in de driehoek van pascal:
 

                    1             n = 0

                 1    1           n = 1

               1   2    1         n = 2

            1   3    3    1       n = 3

          1   4   6    4    1     n = 4

waarbij n dus overeenkomt met de macht van je som. Willen we dan LaTeX uitschrijven dan zie je dat we LaTeX moeten krijgen. Je ziet dat bij elke volgende term de macht van a eentje omlaag en die van b eentje omhoog gaat.

Om nu makkelijk binomiaalcoefficienten van grote waarden van n te berekenen gebruiken we de formule LaTeX . Hierbij komt n overeen met de rij zoals je die ook boven in de driehoek ziet en komt k overeen met het getal in die rij. Zo is k = 0 het eerste getal in de rij, dus altijd 1. Neem je bijvoorbeeld LaTeX (spreek uit: 4 boven 3) dan kijk je naar de rij n = 4 en naar k = 3. Dus LaTeX . Om dit makkelijk te berekenen zonder de driehoek uit te schrijven gebruik je de formule LaTeX . Hierbij staat ! voor faculteit, zo is bijvoorbeeld LaTeX . Vullen we nu weer LaTeX in dan krijgen we LaTeX . Uitgeschreven is dit LaTeX Hierbij kunnen we zowel in de noemer als in de teller LaTeX tegen elkaar wegstrepen zodat we wederom 4 als uitkomst verkrijgen.

We weten dus inmiddels dat LaTeX . Dit kunnen we controleren door bijvoorbeeld te kijken naar LaTeX .

Tenslotte, een makkelijkere manier om de formule uit voorgaande stukje te noteren is door gebruik te maken van de Sigma notatie: LaTeX . Sigma staat hier voor het sommatiesymbool, een simpel voorbeeldje: LaTeX .

Hopelijk helpt dit een beetje en heb ik geen fouten gemaakt.

Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om mijn verhaaltje te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 maart 2007 - 22:08

Hopelijk helpt dit een beetje en heb ik geen fouten gemaakt.

Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om dit te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]

Dan ben je wel erg lang bezig geweest :)
Ik heb het even vlug nagelezen, ziet er ok uit behalve:

We weten dus inmiddels dat LaTeX

.

Je hebt n+1 termen nodig, dus hier horen nog wat 'puntjes' tussen ofzo:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Hoogvlieger

    Hoogvlieger


  • >250 berichten
  • 267 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2007 - 22:09

Bedankt.

Ik ken de latex formules niet uit mijn hoofd, dus ik moet alles opzoeken en uitproberen [rr]
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.

#11

sannn

    sannn


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2007 - 23:21

Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om mijn verhaaltje te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]


Ik heb er heel veel aan gehad :) Dank je!

#12

sannn

    sannn


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2007 - 23:26

Tenslotte, een makkelijkere manier om de formule uit voorgaande stukje te noteren is door gebruik te maken van de Sigma notatie: LaTeX

. Sigma staat hier voor het sommatiesymbool, een simpel voorbeeldje: LaTeX .


Die sigma notatie trouwens. Als ik die zo zie zonder de formule boven, dan zou ik dus nooit weten dat ik het zo moet uitrekenen. En ik zou ook niet weten hoe ik een normale formule moet omzetten naar een sigma notatie. Hoe doe je dit?

#13

sannn

    sannn


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2007 - 23:27

Hopelijk helpt dit een beetje en heb ik geen fouten gemaakt.

Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om dit te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]

Dan ben je wel erg lang bezig geweest :)
Ik heb het even vlug nagelezen, ziet er ok uit behalve:

We weten dus inmiddels dat LaTeX

.

Je hebt n+1 termen nodig, dus hier horen nog wat 'puntjes' tussen ofzo:

LaTeX


Wat houden die ... puntjes in dan?

#14

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 maart 2007 - 08:29

termen ertussen
de macht van a -1
macht van b +1
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#15

sannn

    sannn


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 maart 2007 - 10:08

termen ertussen  
de macht van a -1
macht van b +1


Oh dus die moet je zelf nog tussen de formule zetten?[rr]





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures