Hoi! Kan iemand mij de binomium van Newton uitleggen?
en binomiaalcoefficienten?
Want bijvoorbeeld met de driehoek van pascal, kun je die ook maken met binomiaalcoefficienten en dan zo makkelijker berekenen. Maar ik snap eigenlijk niet hoe ze aan die getallen komen?
Wie heeft er een makkelijke en duidelijke uitleg voor iemand zonder wiskundeknobbel?
Laatste berichten
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
11:32
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 6
-
11:31
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 14
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Weerfrustratie 5
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
binomium van Newton
-
- Berichten: 6.905
Re: binomium van Newton
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 123
Re: binomium van Newton
Dat had ik al gelezen, maar maakt niet dat ik het snap. Wanneer gebruik je het bijvoorbeeld? En die coefficienten in de driehoek van pascal, hoe komen ze erop?
En je kunt binomium van Newton ook controleren. Eerst dan met n = 1 maar daarna met n = m en n = m + 1. Maar hoe kun je nou controleren met m? Want je weet m niet?
Ik ben echt een leek hierin, sorry [rr]
-
- Berichten: 6.905
Re: binomium van Newton
1En die coefficienten in de driehoek van pascal, hoe komen ze erop?
1 1
men maakt telkens de som van het getal erboven en het getal linksboven
de zijden worden aangevuld met 1'en
dus
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
zo bewijst men de formule (inductie noemt zo iets geloof ik)En je kunt binomium van Newton ook controleren. Eerst dan met n = 1 maar daarna met n = m en n = m + 1. Maar hoe kun je nou controleren met m? Want je weet m niet?
men gaat er van uit:
"als de eigenschap geldt voor n, dan moet ze ook geldig zijn voor n+1"
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 24.578
Re: binomium van Newton
Stel je wil (x+y)² uitrekenen. Dat kan door (x+y)(x+y) distributief uit te werken. Je krijgt:
(x+y)² = x²+2xy+y² = 1x² + 2xy + 1y²
Vervolgens kan je (x+y)³ uitrekenen, bijvoorbeeld via (x+y)(x²+2xy+y²). Je krijgt dit keer:
(x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³ = 1x³ + 3x²y + 3xy² + 3y³
In het eerste geval vond je de coëfficiënten 1,2,1. Nu vind je 1,3,3,1. Herken je dit in de driehoek van Pascal?
Zo gaat dat verder, de volgende regel voor een vierde macht, dan vijfde macht enzovoort.
Die x+y is een som van twee termen, een "tweeterm" of ook: "binomium" - vandaar ook de naam.
(x+y)² = x²+2xy+y² = 1x² + 2xy + 1y²
Vervolgens kan je (x+y)³ uitrekenen, bijvoorbeeld via (x+y)(x²+2xy+y²). Je krijgt dit keer:
(x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³ = 1x³ + 3x²y + 3xy² + 3y³
In het eerste geval vond je de coëfficiënten 1,2,1. Nu vind je 1,3,3,1. Herken je dit in de driehoek van Pascal?
Zo gaat dat verder, de volgende regel voor een vierde macht, dan vijfde macht enzovoort.
Die x+y is een som van twee termen, een "tweeterm" of ook: "binomium" - vandaar ook de naam.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 123
Re: binomium van Newton
Dank je, dit is echt een super goede uitleg!TD! schreef:Stel je wil (x+y)² uitrekenen. Dat kan door (x+y)(x+y) distributief uit te werken. Je krijgt:
(x+y)² = x²+2xy+y² = 1x² + 2xy + 1y²
Vervolgens kan je (x+y)³ uitrekenen, bijvoorbeeld via (x+y)(x²+2xy+y²). Je krijgt dit keer:
(x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³ = 1x³ + 3x²y + 3xy² + 3y³
In het eerste geval vond je de coëfficiënten 1,2,1. Nu vind je 1,3,3,1. Herken je dit in de driehoek van Pascal?
Zo gaat dat verder, de volgende regel voor een vierde macht, dan vijfde macht enzovoort.
Die x+y is een som van twee termen, een "tweeterm" of ook: "binomium" - vandaar ook de naam.
-
- Berichten: 24.578
Re: binomium van Newton
Graag gedaan, nu begrijp je misschien ook iets meer van die wikipediapagina.
Als je nog met (meer specifieke) vragen zit, stel ze gerust maar wees duidelijk.
Als je nog met (meer specifieke) vragen zit, stel ze gerust maar wees duidelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 267
Re: binomium van Newton
Met het binomium van Newton kun je makkelijk de machten van de som van twee grootheden uitschrijven. Zo kun je bijvoorbeeld de macht
De getallen vóór a en b, dus in het geval
waarbij n dus overeenkomt met de macht van je som. Willen we dan
Om nu makkelijk binomiaalcoefficienten van grote waarden van n te berekenen gebruiken we de formule
We weten dus inmiddels dat
Tenslotte, een makkelijkere manier om de formule uit voorgaande stukje te noteren is door gebruik te maken van de Sigma notatie:
Hopelijk helpt dit een beetje en heb ik geen fouten gemaakt.
Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om mijn verhaaltje te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]
\((a + b)^2\)
uitschrijven als \(a^2 + 2ab + b^2\)
en bijvoorbeeld \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
. Meer algemeen kun je met het binomium van Newton dus makkelijk \((a + b)^n\)
uitschrijven. De getallen vóór a en b, dus in het geval
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
de getallen 1, 2 en 1 (waarbij je \(a^2\)
moet zien als \(1 \cdot a^2\)
) noemen we nu de binomiaalcoefficienten. Bij \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
zijn de binomiaalcoefficienten dus 1, 3, 3 en 1. Deze binomiaalcoefficienten kun je terugvinden in de driehoek van pascal: Code: Selecteer alles
1 n = 0
1 1 n = 1
1 2 1 n = 2
1 3 3 1 n = 3
1 4 6 4 1 n = 4\((a + b)^4\)
uitschrijven dan zie je dat we \(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
moeten krijgen. Je ziet dat bij elke volgende term de macht van a eentje omlaag en die van b eentje omhoog gaat. Om nu makkelijk binomiaalcoefficienten van grote waarden van n te berekenen gebruiken we de formule
\({n \choose k}\)
. Hierbij komt n overeen met de rij zoals je die ook boven in de driehoek ziet en komt k overeen met het getal in die rij. Zo is k = 0 het eerste getal in de rij, dus altijd 1. Neem je bijvoorbeeld \({4 \choose 3}\)
(spreek uit: 4 boven 3) dan kijk je naar de rij n = 4 en naar k = 3. Dus \({4 \choose 3} = 4\)
. Om dit makkelijk te berekenen zonder de driehoek uit te schrijven gebruik je de formule \({n \choose k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}\)
. Hierbij staat ! voor faculteit, zo is bijvoorbeeld \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)
. Vullen we nu weer \({4 \choose 3}\)
in dan krijgen we \({4 \choose 3} = \frac{4!}{3!(4 - 3)!}\)
. Uitgeschreven is dit \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (1)}\)
Hierbij kunnen we zowel in de noemer als in de teller \(3 \cdot 2 \cdot 1\)
tegen elkaar wegstrepen zodat we wederom 4 als uitkomst verkrijgen. We weten dus inmiddels dat
\((a + b)^n = {n \choose 0}a^n} + {n \choose 1}a^n^-^1b} + {n \choose n-1}ab^n^-^1} + {n \choose n}b^n}\)
. Dit kunnen we controleren door bijvoorbeeld te kijken naar \((a + b)^3 = {3 \choose 0}a^3} + {3 \choose 1}a^2b} + {3 \choose 2}ab^2} + {3 \choose 3}b^3} = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
. Tenslotte, een makkelijkere manier om de formule uit voorgaande stukje te noteren is door gebruik te maken van de Sigma notatie:
\((a + b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} {n \choose 0}a^n^-^kb^k\)
. Sigma staat hier voor het sommatiesymbool, een simpel voorbeeldje: \(\sum\limits_{i = 3}^{6} i = 3 + 4 + 5 + 6\)
.Hopelijk helpt dit een beetje en heb ik geen fouten gemaakt.
Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om mijn verhaaltje te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.
-
- Berichten: 24.578
Re: binomium van Newton
Dan ben je wel erg lang bezig geweestHoogvlieger schreef:Hopelijk helpt dit een beetje en heb ik geen fouten gemaakt.
Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om dit te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]
Ik heb het even vlug nagelezen, ziet er oké uit behalve:
Je hebt n+1 termen nodig, dus hier horen nog wat 'puntjes' tussen ofzo:We weten dus inmiddels dat\((a + b)^n = {n \choose 0}a^n} + {n \choose 1}a^n^-^1b} + {n \choose n-1}ab^n^-^1} + {n \choose n}b^n}\).
\((a + b)^n = {n \choose 0}a^n} + {n \choose 1}a^n^-^1b} + \ldots + {n \choose n-1}ab^n^-^1} + {n \choose n}b^n}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 267
Re: binomium van Newton
Bedankt.
Ik ken de latex formules niet uit mijn hoofd, dus ik moet alles opzoeken en uitproberen [rr]
Ik ken de latex formules niet uit mijn hoofd, dus ik moet alles opzoeken en uitproberen [rr]
There we were, two men against an army. Boy, did we beat the hell out of those two guys.
-
- Berichten: 123
Re: binomium van Newton
Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om mijn verhaaltje te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]
Ik heb er heel veel aan gehad
Dank je!-
- Berichten: 123
Re: binomium van Newton
Tenslotte, een makkelijkere manier om de formule uit voorgaande stukje te noteren is door gebruik te maken van de Sigma notatie:\((a + b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} {n \choose 0}a^n^-^kb^k\). Sigma staat hier voor het sommatiesymbool, een simpel voorbeeldje:\(\sum\limits_{i = 3}^{6} i = 3 + 4 + 5 + 6\).
Die sigma notatie trouwens. Als ik die zo zie zonder de formule boven, dan zou ik dus nooit weten dat ik het zo moet uitrekenen. En ik zou ook niet weten hoe ik een normale formule moet omzetten naar een sigma notatie. Hoe doe je dit?
-
- Berichten: 123
Re: binomium van Newton
Wat houden die ... puntjes in dan?TD! schreef:Dan ben je wel erg lang bezig geweestHoogvlieger schreef:Hopelijk helpt dit een beetje en heb ik geen fouten gemaakt.
Edit: Goh, ik heb er zo lang over gedaan om dit te typen dat je inmiddels je antwoord al hebt. Nou ja, misschien heb je er nog wat aan [rr]
Ik heb het even vlug nagelezen, ziet er oké uit behalve:
Je hebt n+1 termen nodig, dus hier horen nog wat 'puntjes' tussen ofzo:We weten dus inmiddels dat\((a + b)^n = {n \choose 0}a^n} + {n \choose 1}a^n^-^1b} + {n \choose n-1}ab^n^-^1} + {n \choose n}b^n}\).
\((a + b)^n = {n \choose 0}a^n} + {n \choose 1}a^n^-^1b} + \ldots + {n \choose n-1}ab^n^-^1} + {n \choose n}b^n}\)
-
- Berichten: 6.905
Re: binomium van Newton
termen ertussen
de macht van a -1
macht van b +1
de macht van a -1
macht van b +1
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
-
- Berichten: 123
Re: binomium van Newton
jhnbk schreef:termen ertussen
de macht van a -1
macht van b +1
Oh dus die moet je zelf nog tussen de formule zetten? [rr]
