[Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 25-01-'05, 20:21

Cycloon

Gebruikersavatar
Berichten: 4.810

[Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Als je op een cirkel 2 punten plaatst die je verbindt, dan wordt de schijf verdeeld in 2 gebieden. Als op een cirkel 3 punten plaatst die je verbindt, dan wordt de schijf verdeeld in 4 gebieden. als je op een cirkel 4 punten plaatst die je verbindt, dan wordt de schijf verdeeld in 8 gebieden. Wat is het grootste aantal gebieden waarin een schijf kan worden verdeeld als je op een cirkel 6 punten plaatst en onderling met elkaar verbindt. ?

Dit was een vraag op de vlaamse wiskunde olympiade 3de graad -Eerste ronde-

Nu is m'n vraag, het antwoord hierop is 31, hoe kom je daar nu aan ?

Door te tekenen is 1 oplossing wat ik ook heb gedaan (een regelmatige zeshoek geeft 30 vlakken, onregelmatige 31 :shock: ) en toen bekwam ik wel het juiste antwoord maar hoe kan je dat dan berekenen ?

Ik dacht eerst aan een meetkundige rij maar dat klopt dus niet met wat het moet zijn ;)

Deze dus:

2 punten : 2 vlakken

3 punten : 4 vlakken

4 punten : 8 vlakken

Maar met elke keer verdubbelen zou je 32 vlakken moet hebben en geen 31 :?:

Iemand een idee ? :?:
Omhoog

Bericht 25-01-'05, 20:31

Anonymous

Re: [Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

je moet het tekenen !

In het begin als ik die vraag zag dacht ik ook aan 32 ==> lineair , maar dit is niet zo

Teken maar eens een regelmatige zeshoek en tel ze allemaal ==> dan zal je er dertig hebben

Als je een onregelmatige zeshoek tekent en dan telt dan tel je er in het midden nog eentje meer dus 31

Is dus eigenlijk een strikvraag, niet echt gebaseerd op wiskunde vind ik

teken het zelf maar enkele keren en je zal merken dat 31 volledig juist is...

Greetzz

Matty
Omhoog

Bericht 25-01-'05, 20:37

Cycloon

Gebruikersavatar
Berichten: 4.810

Re: [Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Maar volgens mij is er toch ergens een manier om het wiskundig te bepalen :shock:
Omhoog

Bericht 25-01-'05, 22:35

Bert

Berichten: 718

Re: [Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Een echt bewijs is het niet maar ik kan het wel aannemelijk maken:

Laat eerst de schijf weg en kijk alleen naar de zeshoek (daarmee vervallen 6 vlakken die je later weer toe kunt voegen).

Het totaal aantal lijnstukken tussen de hoekpunten is 15. Een lijn naar een aangrenzend hoekpunt snijdt geen enkele lijn en voegt dus geen enkel snijpunt toe.

Een lijn naar een hoekpunt dat niet aangrenzend is maar ook niet tegenoverstaand moet 3 lijnstukken snijden (alle lijnen vanuit dat hoekpunt behalve de buitenste. Dit betekent dat je het lijnstuk opdeelt in 4 lijnstukken (en er dus 3 toevoegt aan de oorspronkelijke 15) en dat je 3 punten toevoegt. Omdat er 6 van dit soort lijnen zijn in de zeshoek neemt het aantal lijnen toe met 3x6=18 evenals het aantal snijpunten (een deel wordt dubbel geteld maar dat komt dadelijk).

De lijnen tussen overstaande punten (dat zijn er 3) snijden alle lijnen tussen de 2 punten aan de ene zijde en de 2 punten aan de andere zijde (dat zijn er 4). In principe kunnen er daarbij snijpunten samenvallen maar door de zeshoek voldoende onregelmatig te kiezen kan dat voorkomen worden. Er worden dus 3x4 snijpunten en 3x4 lijnstukken toegevoegd (elke lijn wordt in vijven verdeeld).

Het totaal aantal lijnstukken is dus L=15+18+12=45.

Het totaal aantal snijpunten is S=6+(18+12)/2=21 (door 2 delen omdat alle snijpunten dubbel zijn geteld).

Het verband tussen het aantal vlakken V, lijnstukken L en punten S wordt gegeven door V+S-L=1 ==> V=1-21+45=25. Na toevoegen van de 6 vlakken uit het begin kom je dus op 31.
Omhoog

Bericht 25-01-'05, 22:44

Cycloon

Gebruikersavatar
Berichten: 4.810

Re: [Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Lijkt me best ingewikkeld, maar hoe kom je in deze formule V=1-21+45=25 een die 1-21 ? vanwaar komt die 1 ? :shock:
Omhoog

Bericht 25-01-'05, 23:12

Bert

Berichten: 718

Re: [Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Lijkt me best ingewikkeld, maar hoe kom je in deze formule V=1-21+45=25 een die 1-21 ? vanwaar komt die 1 ?   :shock:
Sorry, vergeten erbij te zetten: bij een veelvlak met V vlakken, L ribben en S hoekpunten geldt (volgens Euler) V+S-L =2. Haal 1 vlak weg en vervorm de rest tot een plat vlak en je hebt de door mijn gebruikte formule V+S-L =1 en daaruit volgt dan weer: V=1-S+L.
Omhoog

Bericht 25-01-'05, 23:27

Cycloon

Gebruikersavatar
Berichten: 4.810

Re: [Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Ok geen idee of dat klopt wat jij vertelt, maar zou er zelf zeker niet kunnen opkomen en begrijp het nu nog steed niet, maarja :shock:

Toch bedankt :wink:
Omhoog

Bericht 26-01-'05, 06:50

Bert

Berichten: 718

Re: [Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Cycloon schreef:Ok geen idee of dat klopt wat jij vertelt, maar zou er zelf zeker niet kunnen opkomen en begrijp het nu nog steed niet, maarja :shock:

Toch bedankt  :wink:
Plaatje erbij tekenen helpt enorm. Als je het eenmaal door hebt kun je het ook voor nog grotere veelhoeken uitrekenen. Het komt erop neer dat je bij een gegeven lijn tussen hoekpunten kijkt hoeveel snijlijnen er zijn. Bij een willekeurige lijn is dat het aantal punten links van de lijn maal het aantal punten rechts van de lijn.
Omhoog

Bericht 26-01-'05, 14:25

Cycloon

Gebruikersavatar
Berichten: 4.810

Re: [Raadsel] Veelhoeken in een cirkel

Bert schreef:
Cycloon schreef:Ok geen idee of dat klopt wat jij vertelt, maar zou er zelf zeker niet kunnen opkomen en begrijp het nu nog steed niet, maarja :shock:

Toch bedankt  :wink:
Plaatje erbij tekenen helpt enorm. Als je het eenmaal door hebt kun je het ook voor nog grotere veelhoeken uitrekenen. Het komt erop neer dat je bij een gegeven lijn tussen hoekpunten kijkt hoeveel snijlijnen er zijn. Bij een willekeurige lijn is dat het aantal punten links van de lijn maal het aantal punten rechts van de lijn.


Had het even aan m'n leerkracht getoond en begreep toen wat beter, maar zelf zou ik er nooit opgekomen zijn ;)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”