Springen naar inhoud

[Raadsel] Veelhoeken in een cirkel


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2005 - 20:21

Als je op een cirkel 2 punten plaatst die je verbindt, dan wordt de schijf verdeeld in 2 gebieden. Als op een cirkel 3 punten plaatst die je verbindt, dan wordt de schijf verdeeld in 4 gebieden. als je op een cirkel 4 punten plaatst die je verbindt, dan wordt de schijf verdeeld in 8 gebieden. Wat is het grootste aantal gebieden waarin een schijf kan worden verdeeld als je op een cirkel 6 punten plaatst en onderling met elkaar verbindt. ?

Dit was een vraag op de vlaamse wiskunde olympiade 3de graad -Eerste ronde-

Nu is m'n vraag, het antwoord hierop is 31, hoe kom je daar nu aan ?
Door te tekenen is 1 oplossing wat ik ook heb gedaan (een regelmatige zeshoek geeft 30 vlakken, onregelmatige 31 :shock:) en toen bekwam ik wel het juiste antwoord maar hoe kan je dat dan berekenen ?
Ik dacht eerst aan een meetkundige rij maar dat klopt dus niet met wat het moet zijn ;)

Deze dus:
2 punten : 2 vlakken
3 punten : 4 vlakken
4 punten : 8 vlakken

Maar met elke keer verdubbelen zou je 32 vlakken moet hebben en geen 31 :?:

Iemand een idee ? :?:

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 25 januari 2005 - 20:31

je moet het tekenen !
In het begin als ik die vraag zag dacht ik ook aan 32 ==> lineair , maar dit is niet zo
Teken maar eens een regelmatige zeshoek en tel ze allemaal ==> dan zal je er dertig hebben
Als je een onregelmatige zeshoek tekent en dan telt dan tel je er in het midden nog eentje meer dus 31

Is dus eigenlijk een strikvraag, niet echt gebaseerd op wiskunde vind ik
teken het zelf maar enkele keren en je zal merken dat 31 volledig juist is...

Greetzz

Matty

#3

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2005 - 20:37

Maar volgens mij is er toch ergens een manier om het wiskundig te bepalen :shock:

#4

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2005 - 22:35

Een echt bewijs is het niet maar ik kan het wel aannemelijk maken:
Laat eerst de schijf weg en kijk alleen naar de zeshoek (daarmee vervallen 6 vlakken die je later weer toe kunt voegen).
Het totaal aantal lijnstukken tussen de hoekpunten is 15. Een lijn naar een aangrenzend hoekpunt snijdt geen enkele lijn en voegt dus geen enkel snijpunt toe.
Een lijn naar een hoekpunt dat niet aangrenzend is maar ook niet tegenoverstaand moet 3 lijnstukken snijden (alle lijnen vanuit dat hoekpunt behalve de buitenste. Dit betekent dat je het lijnstuk opdeelt in 4 lijnstukken (en er dus 3 toevoegt aan de oorspronkelijke 15) en dat je 3 punten toevoegt. Omdat er 6 van dit soort lijnen zijn in de zeshoek neemt het aantal lijnen toe met 3x6=18 evenals het aantal snijpunten (een deel wordt dubbel geteld maar dat komt dadelijk).
De lijnen tussen overstaande punten (dat zijn er 3) snijden alle lijnen tussen de 2 punten aan de ene zijde en de 2 punten aan de andere zijde (dat zijn er 4). In principe kunnen er daarbij snijpunten samenvallen maar door de zeshoek voldoende onregelmatig te kiezen kan dat voorkomen worden. Er worden dus 3x4 snijpunten en 3x4 lijnstukken toegevoegd (elke lijn wordt in vijven verdeeld).
Het totaal aantal lijnstukken is dus L=15+18+12=45.
Het totaal aantal snijpunten is S=6+(18+12)/2=21 (door 2 delen omdat alle snijpunten dubbel zijn geteld).
Het verband tussen het aantal vlakken V, lijnstukken L en punten S wordt gegeven door V+S-L=1 ==> V=1-21+45=25. Na toevoegen van de 6 vlakken uit het begin kom je dus op 31.

#5

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2005 - 22:44

Lijkt me best ingewikkeld, maar hoe kom je in deze formule V=1-21+45=25 een die 1-21 ? vanwaar komt die 1 ? :shock:

#6

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 januari 2005 - 23:12

Lijkt me best ingewikkeld, maar hoe kom je in deze formule V=1-21+45=25 een die 1-21 ? vanwaar komt die 1 ?  :shock:

Sorry, vergeten erbij te zetten: bij een veelvlak met V vlakken, L ribben en S hoekpunten geldt (volgens Euler) V+S-L =2. Haal 1 vlak weg en vervorm de rest tot een plat vlak en je hebt de door mijn gebruikte formule V+S-L =1 en daaruit volgt dan weer: V=1-S+L.

#7

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 januari 2005 - 23:27

Ok geen idee of dat klopt wat jij vertelt, maar zou er zelf zeker niet kunnen opkomen en begrijp het nu nog steed niet, maarja :shock:
Toch bedankt :wink:

#8

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2005 - 06:50

Ok geen idee of dat klopt wat jij vertelt, maar zou er zelf zeker niet kunnen opkomen en begrijp het nu nog steed niet, maarja :shock:
Toch bedankt  :wink:

Plaatje erbij tekenen helpt enorm. Als je het eenmaal door hebt kun je het ook voor nog grotere veelhoeken uitrekenen. Het komt erop neer dat je bij een gegeven lijn tussen hoekpunten kijkt hoeveel snijlijnen er zijn. Bij een willekeurige lijn is dat het aantal punten links van de lijn maal het aantal punten rechts van de lijn.

#9

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 januari 2005 - 14:25

Ok geen idee of dat klopt wat jij vertelt, maar zou er zelf zeker niet kunnen opkomen en begrijp het nu nog steed niet, maarja :shock:
Toch bedankt  :wink:

Plaatje erbij tekenen helpt enorm. Als je het eenmaal door hebt kun je het ook voor nog grotere veelhoeken uitrekenen. Het komt erop neer dat je bij een gegeven lijn tussen hoekpunten kijkt hoeveel snijlijnen er zijn. Bij een willekeurige lijn is dat het aantal punten links van de lijn maal het aantal punten rechts van de lijn.


Had het even aan m'n leerkracht getoond en begreep toen wat beter, maar zelf zou ik er nooit opgekomen zijn ;)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures