volgens de 2e wet van newton:
\(F = m \cdot a\)
De luchtweerstand op een voorwerp (stel kogel) is afhankelijk van de snelheid (kwadraat) en constante (k): \(F = -k \cdot v^2\)
Ik zal beginnen met de horizontale beweging, dan is er maar 1 kracht: de luchtweerstand.vergelijking:
\(m \cdot a = -k \cdot v^2\)
\(m \cdot \frac{dv}{dt} = -k \cdot v^2 \)
en dan vervolgens alles herschikken tot:\(m \cdot \frac{dv}{v^2} = -k \cdot dt \)
en dit integreren om de horizontale snelheid te krijgen.\(\int \frac{m}{v^2}dv = \int -k \cdot dt\)
levert: \(\frac {-m}{v} = -k \cdot t\)
oftewel \(v = \frac{m}{k \cdot t}\)
en nogmaals integreren levert de horizontale verplaatsing (\(v = \frac{dx}{dt}\)
levert: \( \frac{dx}{dt}=\frac{m}{k\cdot t}\)
herschikken en integreren: \(\int \frac{m}{t} \cdot dt = \int k \cdot dx\)
geeft de verplaatsing \( m \cdot \ln(t) = k \cdot x\)
oftewel \(x = \frac{m \cdot \ln(t)}{k}\)
)Bovenstaande formules voor de snelheid en verplaatsing lijken al aardig te kloppen, aangezien de snelheid met een toenemende tijd steeds kleiner wordt. Echter bij een zeer kleine t wordt de snelheid oneidig hoog, terwijl een beginsnelheid van bijv. een kogeltje ca. 900m/s bedraagt.
Het lijkt me dat nog rekening moet worden gehouden met de beginvoorwaarden, aangezien een integraal (volgens mij) een onbekende introduceert. Tot zover mijn kennis over integralen, om over de verticale beweging waarbij rekening moet worden gehouden met de zwaartekracht nog maar niet te beginnen...
Wie helpt mij verder???
