[wiskunde] complexe getallen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 09-03-'07, 19:36

lucca

Berichten: 758

[wiskunde] complexe getallen

tja, en dan heb je binnenkort een pw over complexe getallen. Zou iemand willen kijken of mijn redenatie goed is?

los op in C

V (staat voor wortel)

Z^4 = - 1

r = V( a ^2 + b ^2)

a = -1

b= 0

--> (-1)^2 + 0^2 = V (1)

r = 1

Z^4 = 1

z = 1

dan de hoek berekenen

Afbeelding

180 graden is het, oftewel 1 pi

maar het is Z^4 --> arg(z^4) = arg (z)^4 = arg (z x z x z x z)

==> 4 arg(z) = pi + k x 2pi

arg (z) = 1/4 pi + 1/2pi

en dan

z1 = 1/4 pi + k 1/2pi

z2 = 3/4 pi + 1/2pi

z3 = -3/4 pi + 1/2 pi

z4 = -1/4 pi + 1/2pi

klop dit?
Omhoog

Bericht 09-03-'07, 20:18

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: [wiskunde] complexe getallen

De wortels worden algemeen gegeven door:
\(r^\frac{1}{n}({\cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i\sin(\frac{\theta+2k\pi}{n})})\)
Hier r=1,n=4,
\(\theta=\pi\)
, en k=0,1,2,3
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 09-03-'07, 20:26

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] complexe getallen

tja, en dan heb je binnenkort een pw over complexe getallen. Zou iemand willen kijken of mijn redenatie goed is?
Je redenatie zou goed kunnen zijn, maar je slordigheid is te groot.

Te bewijzen:
\(z^4 = -1\)
Omgeschreven naar polaire notatie:
\(z^4 = 1 \cdot e^{i(\pi + 2 \pi k)} \mbox{ met } k \in \nn\)
dus:
\(z = (z^4)^\frac{1}{4} = (e^{i (\pi + 2 \pi k)})^\frac{1}{4} = e^{i (\frac{\pi}{4} + \frac{2}{4} \pi k)}\)
Hieruit de vier unieke oplossingen halen met k = 0, 1, 2 en 3. Daarna eventueel deze opschrijven in 'normale' vorm met behulp van de formule van Euler.
Omhoog

Bericht 09-03-'07, 22:06

PeterPan

Re: [wiskunde] complexe getallen

\(z^4 = -1 = i^2\)
Dan is
\(z^2 = i = \frac{(1+i)^2}{2}\)
of
\(z^2 = -i = \frac{(1-i)^2}{2}\)
dus
\(z = \frac{1+i}{\sqrt{2}}\)
of
\(z = \frac{-1-i}{\sqrt{2}}\)
of
\(z = \frac{1-i}{\sqrt{2}}\)
of
\(z = \frac{-1+i}{\sqrt{2}}\)
Omhoog

Bericht 09-03-'07, 23:09

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] complexe getallen

Volgende keer in huiswerk & practica plaatsen, ik zal het nu verhuizen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 10-03-'07, 00:01

Heezen

Berichten: 481

Re: [wiskunde] complexe getallen

Volgende keer in huiswerk & practica plaatsen, ik zal het nu verhuizen.
Trouwens, zouden we geen centraal topic complexe getallen kunnen hebben, zou toch veel handiger zijn? ( idee voor IPb)
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..

Correct me if I'm wrong.
Omhoog

Bericht 10-03-'07, 09:22

lucca

Berichten: 758

Re: [wiskunde] complexe getallen

Dankjewel,

de manier van EvilBro is duidelijk en ik kom op hetzelfde neer (dan wel niet correct genoteerd.)

Maar is de uitkomst van ''PeterPan'' ook goed? Is dat hetzelfde?
Omhoog

Bericht 10-03-'07, 09:38

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] complexe getallen

Maar is de uitkomst van ''PeterPan'' ook goed? Is dat hetzelfde?
Formule van Euler:
\(e^{i x} = \cos(x) + i \sin(x)\)


bijvoorbeeld:
\(e^{i \frac{\pi}{4}} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}\)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”