Flux

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Flux

Een puntlading Q ligt op de as van een cilinder midden tussen de beide uiteinden. De diameter van de cilinder is gelijk aan zijn lengte (dus: lengte = 2 keer de straal). Hoeveel bedraagt in totaal de elektrische flux door het gebogen cilindervlak? (tip: bereken eerst de flux door de twee uiteinden)
\( \Phi = \int \vec E \cdot \mbox{d} \vec A\)
Maar wat gebruik ik voor E en wat zijn de grenzen?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Flux

Ik denk dat je de wet van Gauss moet toepassen. Ben je daar reeds bekend mee?
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Flux

Je moet inderdaad de wet van Gauss toepassen.
\(\int \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{\Sigma q}{\epsilon_{0}}\)
Geldt in dit geval alleen in vacuum ( en in lucht want epsilon ® van lucht is bijna 1 )

Als je de puntlading q deelt door (epsilon(0) ) , dan heb je de totale elektrische flux, die naar buiten treedt , door het gesloten oppervlak . ( dus cilinderwand + 2 keer de kopse kant van de cilinder ).

Als je nu de elektr. flux berekent door 1 kopse kant, dan neem je het verschil van de totale elektr. flux min 2 keer de flux door zo'n kopse kant.

Flux door kopse kant is:
\( \frac{q.2.\pi.R}{4.\pi.\epsilon(0) } \int_{r=0}^{r=R} \frac{r.dr}{{(R^2+r^2)}^{\frac{3}{2}} }\)


Probeer het eerst zelf maar.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Flux

Hmm, ja, ik volg (nog :) ), en dat integreren is het belangrijkste niet, hoe ja die integraal hebt opgesteld wel.

Ik herken er wel de formule in van het elektrisch veld voor een geladen ring
\(E =k \frac{x}{\left(x^2 + a^2 \right)^{\frac{3}{2}}}Q\)
, maar hoe ben je van dA naar dr gegaan, etc?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Flux

De kopse kanten vormen een cirkel met straal=R

Neem nu een kopse kant en ga in het middelpunt staan.

Kies nu een r met 0<r<R

De grootte van E op deze cirkelomtrek is:
\(\frac{1}{4.\pi.\epsilon(0)}. \frac{q}{(R^2+r^2)}\)
Deze vector staat onder een hoek alfa, met
\(\cos\alpha=\frac{R}{\sqrt{(R^2+r^2)}}\)
Je moet dus de grootte van E vermenigvuldigen met cos alfa

Nu heb je de grootte van E loodrecht op dA met dA =2.pi.r.dr

Je krijgt dan:
\(Flux \ door\ kopse\ kant\ =\int_{r=0}^{r=R} \frac{q}{4.\pi.\epsilon(0).(R^2+r^2)}.\frac{R}{\sqrt{R^2+r^2}} . 2.\pi.r.dr\)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Flux

Ok, je doet zelfs dingen die ik niet hoef te doen. Ik heb alles op een rijtje gezet en dit heb ik:

(voor alle duidelijkheid, ik noem
\(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 = k\)


We weten dat
\( \Phi = \oint \vec E \cdot d \vec A = \frac{q}{\epsilon_0}\)
en dat het elektrisch veld in een uniform geladen ring gegeven wordt door
\( \vec E = k \frac{ r }{ \left(r^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}}q\)
we kunnen voor een infinitimaal oppervlakje dA zeggen dat
\(dA=2 \pi R dr\)


Als we dit invullen in de wet van Gauss:
\(\Phi = \frac{Rq}{2\epsilon_0} \int_0^R \frac{ r }{ \left(r^2 + R^2 \right)^{\frac{3}{2}}}dr\)
Reken ik deze integraal uit, dan kom ik op:
\(\Phi = \frac{q(1+ \sqrt{2}}{\epsilon_0 \sqrt{2}}\)


Mijn vragen hierbij zijn,

Waarom moet ik integreren van R tot 0, ik voel wel aan dat het klopt, maar hoe verklaart men dit?

Kan dit kloppen?

Heb ik nu de flux van de twee zijvlakken uitgerekend?

Hoe bereken ik nu nog de flux over de gehele cilinder?

Gebruikersavatar
Berichten: 4.810

Re: Flux

Je moet de gehele oppervlakte integreren, wil je dus alle 'deel'cirkeltjes doorlopen moet je alle cirkels nemen van 0 tot R door te vergroten met dr. Dan zal je de gehele oppervlakte doorlopen zijn.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Flux

Als je de integraal uitrekent, dan komt eruit:
\(\frac{-2.q.R}{4.\epsilon(0)}.\left( \frac{1}{\sqrt{2}} -1 \right) .\frac{1}{R}\)
\(=\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) . \frac{q}{2.\epsilon(0)}\)
Dit moeten we 2 keer doen:
\(=\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) .\frac{q}{\epsilon(0)}\)
De totale elektr. flux is :
\(\frac{q}{\epsilon(0)}\)
Flux door het manteloppervlak is dus:
\(\frac{q}{\epsilon(0)} - \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) .\frac{q}{\epsilon(0)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}} . \frac{q}{\epsilon(0)}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Flux

Je moet de gehele oppervlakte integreren, wil je dus alle 'deel'cirkeltjes doorlopen moet je alle cirkels nemen van 0 tot R door te vergroten met dr. Dan zal je de gehele oppervlakte doorlopen zijn.
Tjonge jonge, inderdaad, waar zit ik met mijn gedachten.

Aadkr, bedankt voor de uitwerking. Het ontging me volledig dat de totale flux altijd q/epsilon is. Ik ben er volledig uit. Waarschijnlijk tot straks met een nieuwe vraag :) .

Reageer