Springen naar inhoud

Cantor Normaalvorm


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 13 maart 2007 - 11:10

[aangepaste versie geplaatst, TD]


Bekijk het getal LaTeX .
Dit getal is duidelijk binair weergegeven.
Cantor was hier niet tevreden mee, want de exponenten waren helemaal niet binair, dus ging hij die ook binair schrijven.
LaTeX .
Hij was nog niet tevreden, want de exponenten van de exponenten waren niet binair. Dus gaan we nog een stapje verder.
LaTeX
Nu gaf ie zich gewonnen. We hebben het getal geschreven in "Cantor Normaalvorm".
Je kunt elk getal in elke basis (dus niet alleen binair) in Cantor Normaalvorm schrijven.

Snel stijgende rijen.
Als LaTeX een natuurlijk getal is, dan schrijven we LaTeX voor het getal LaTeX als het geschreven is in Cantor Normaalvorm in basis 5.
Met LaTeX bedoelen we LaTeX waarbij we alle vijven één ophogen.
Bijvoorbeeld, als we bovengenoemd getal aan geven met LaTeX , dan is LaTeX
LaTeX .

Als a=16, bekijk dan de rij
LaTeX met LaTeX , en LaTeX voor alle i.

Dan is LaTeX en LaTeX bestaat al uit maar liefst 101 cijfers. De rij divergeert dus vreselijk snel.

Bekijk nu de rij LaTeX met LaTeX , en LaTeX voor alle i.
Dus LaTeX , eerst 1 aftrekken en dan weer omzetten in basis 3.
Divergeert deze rij?

Veranderd door TD, 13 maart 2007 - 14:09


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 maart 2007 - 09:59

De rij divergeert niet. De rij wordt vanaf term LaTeX gelijk aan 0.
Maar voor die tijd is die rij gegroeid van 4 (eerste term) tot een getal dat uit ruim 121 miljard cijfers bestaat. (iets te groot om hier in vol ornaat af te drukken).
Dat zou je niet zeggen als je de eerste termen van dit rijtje ziet:
LaTeX LaTeX
ofwel 4,26,41,60,83,109,139,173,211,253,299, ...

Dit stelt nog niets voor.
Als we een ietsje groter getal nemen, wordt de stijging veel sneller zichtbaar.
Bijvoorbeeld, als we het rijtje starten met 16, dan bestaat de achtste term (decimaal uitgeschreven) uit ruim 369 miljard cijfers.
Het rijtje stijgt godsgruwelijk snel maar zal uiteindelijk op 0 uitkomen. Je kunt je er geen voorstelling van maken hoe lang het duurt voordat het rijtje bij die 0 is aangekomen en hoe groot de getallen in dat rijtje worden.

Het rijtje LaTeX stijgt rap naar oneindig.
Als we bij elke term slechts het getal 1 afhalen (en weer omzetten in Cantor normaalvorm), dan stijgt deze rij aanvankelijk even snel, maar uiteindelijk zal dat onbeduidende eentje de rij weer naar 0 brengen.

Gevolgen:
Dat de rij naar 0 gaat, onafhankelijk van de startwaarde is simpel te bewijzen, echter het is niet te bewijzen met de axioma's van Peano.
(De stelling is dus onafhankelijk van Peano's axioma's).
Daarvoor is het nodig de natuurlijke getallen uit te breiden (voorbij oneindig). Het bewijs is dan simpel te voeren met transfinite inductie.

Veranderd door PeterPan, 14 maart 2007 - 10:02


#3

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 maart 2007 - 13:52

Het bewijs is dan simpel te voeren met transfinite inductie.

toevallig iemand aanwezig die zich geroepen voelt?

#4

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 maart 2007 - 13:54

nee dank u
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 maart 2007 - 14:05

Vervang in het rijtje elke basis door ω. Door telkens bij een nieuwe term er 1 af te halen neemt het
oneindige ordinaalgetal af bij elke stap, en zal derhalve na een eindig aantal stappen eindigen. (Zie theorie ordinaalgetallen).

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 14 maart 2007 - 15:16

Even nog voor de duidelijkheid:
Elk ordinaalgetal heeft een opvolger, maar niet noodzakelijk een voorganger.
Bijvoorbeeld. Bekijk het beginstuk
LaTeX
Het getal LaTeX heeft een opvolger (LaTeX , maar geen voorganger.
Als we even voor het gemak de getallen die geen voorganger hebben "limietgetallen" noemen, en als A en B twee opeenvolgende limietgetallen zijn, dwz tussen hen bevindt zich nergens een limietgetal, dan wordt in onze rij op het moment dat we in B aankomen, en er 1 af willen halen, B vervangen door A + r, waarbij r een basis is (dus eindig).
Na een eindig aantal stappen ben je dat bij A, en het verhaal herhaalt zich, totdat je bij 0 bent aangekomen (eindig aantal stappen).
(De theorie is erg subtiel, en dit is ook geen bewijs, maar ik hoop dat het idee duidelijk is).

Veranderd door PeterPan, 14 maart 2007 - 15:17






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures