De rij divergeert niet. De rij wordt vanaf term
\(3\cdot 2^{402653211}-1\)
gelijk aan 0.
Maar voor die tijd is die rij gegroeid van 4 (eerste term) tot een getal dat uit ruim 121 miljard cijfers bestaat. (iets te groot om hier in vol ornaat af te drukken).
Dat zou je niet zeggen als je de eerste termen van dit rijtje ziet:
\(2^2\ \ \ 3^3-1=2\cdot3^2+2\cdot 3+2\ \ \ 2\cdot 4^2+2\cdot 4 + 1\ \ \ 2\cdot 5^2+2\cdot 5\ 2\cdot6^2+2\cdot 6 -1=2\cdot6^2+6+5\)
\(2\cdot7^2+7+4\ \ \ 2\cdot8^2+8+3\ \ \ 2\cdot9^2+9+2\ 2\cdot10^2+10+1\ \ \ 2\cdot11^2+11\ \ \ 2\cdot12^2+12-1=2\cdot12^2+11\)
ofwel 4,26,41,60,83,109,139,173,211,253,299, ...
Dit stelt nog niets voor.
Als we een ietsje groter getal nemen, wordt de stijging veel sneller zichtbaar.
Bijvoorbeeld, als we het rijtje starten met 16, dan bestaat de achtste term (decimaal uitgeschreven) uit ruim 369 miljard cijfers.
Het rijtje stijgt godsgruwelijk snel maar zal uiteindelijk op 0 uitkomen. Je kunt je er geen voorstelling van maken hoe lang het duurt voordat het rijtje bij die 0 is aangekomen en hoe groot de getallen in dat rijtje worden.
Het rijtje
\(2^{2^2},3^{3^3},4^{4^4},5^{5^5},\cdots\)
stijgt rap naar oneindig.
Als we bij elke term slechts het getal 1 afhalen (en weer omzetten in Cantor normaalvorm), dan stijgt deze rij aanvankelijk even snel, maar uiteindelijk zal dat onbeduidende eentje de rij weer naar 0 brengen.
Gevolgen:
Dat de rij naar 0 gaat, onafhankelijk van de startwaarde is simpel te bewijzen, echter het is
niet te bewijzen met de axioma's van Peano.
(De stelling is dus onafhankelijk van Peano's axioma's).
Daarvoor is het nodig de natuurlijke getallen uit te breiden (voorbij oneindig). Het bewijs is dan simpel te voeren met transfinite inductie.