Moderators: dirkwb , Xilvo
Berichten: 581
Kan deze nog even?
In de vorige topic ivm oneigenlijke integralen stond ergens:
PeterPan schreef: \(\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{sin x}{exp (xy)}dydx = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{sin x}{exp (xy)}dxdy\)
Dan is
\(\int_{0}^{\infty}\frac{sin x}{x}dx = \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+y^2}dy = arctan(y)|_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2}\)
Ik begrijp deze overgang niet, en dit werd ook nergens verder uitgelegd. Kan iemand me die verklaren?
---WAF!---
Berichten: 3.751
probeer de binnenste integraal eens uit te werken.
Berichten: 581
Ik heb dus de binnenste integraal uitgewerkt via partiële integratie, en bekom dus nu:
\(\int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{sin x}{e^{xy}}dx dy = \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+y^{2}}dy=arctan y \vert_{\infty}^{0}=\frac{\pi}{2}\)
Zover ben ik.
Maar ik zie nog niet waarom dit nu ook gelijk is aan
\(\int_{0}^{\infty}\frac{sin x}{x} dx \)
---WAF!---
Berichten: 3.751
nu nog de eerste binnenste integraal uitwerken:
\(\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{sin x}{exp (xy)}dydx =\int_{0}^{\infty}\frac{sin x}{x}dx \)
dus je bent er
overigens is die tweede binnenste integraal iets makkelijker via
\(sin(x)=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\)
Inderdaad, nu is alles duidelijk.
Bericht
di 20 mar 2007, 16:39 20-03-'07, 16:39
TD
Berichten: 24.578
Vergeten in te loggen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Berichten: 7
\(\int_{0}^{\infty}\frac{sin x}{x}dx \)
\($\displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\sin x}}{x}\,dx} = 2\int_0^{ \infty } {\frac{{\sin x}}{x}\,dx} .$\\\\\indent (Aangezien de integrand een even functie.) Een bekende parameter kan nuttig zijn voor het berekenen van de laatste integraal:$$\frac1x=\int_0^\infty e^{-ux}\,du.$$\indent Construct een dubbele integraal, de conclusie volgt.\)
Bericht
vr 16 nov 2007, 20:03 16-11-'07, 20:03
TD
Berichten: 24.578
Gewone tekst hoef je niet in LaTeX te zetten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
