Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 14-03-'07, 14:41

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Hallo,

ik slaag er maar niet in om de wortels van de volgende tweedegraads vergelijking te vinden..
\((a-\lambda)(b-\lambda)-(1-a)(1-b)=0\)
De wortels hiervan zouden moeten zijn:
\(\lambda_1=1,\lambda_2=a+b-1\)
Ik zit voornamelijk in de knoop met die vierkantswortel van de determinant, die moet wegvallen, maar dat krijg ik niet mekaar.

Alvast bedankt!

PS: oplossing op het zicht kan ik ook, maar ik zou het graag algebraïsch zien.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 15:31

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Werk uit en groepeer volgens lambda:
\(\lambda ^2 - \left( {a + b} \right)\lambda + a + b - 1 = 0\)
De som van de oplossingen is dan -b/a = a+b.

Het product is hierin c/a, dus a+b-1. Dus?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 15:43

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

TD schreef:Werk uit en groepeer volgens lambda:
\(\lambda ^2 - \left( {a + b} \right)\lambda + a + b - 1 = 0\)
De som van de oplossingen is dan -b/a = a+b.

Het product is hierin c/a, dus a+b-1. Dus?
Dat groeperen had ik ook nog, maar vanaf dan volg ik niet meer.

Ik snap je redenering ook niet, jij werkt geen discriminant uit?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 15:48

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Dat is de som-product methode voor het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen.

http://www.rsgnov.nl/springborn/vakken/wis...in_factoren.htm
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 15:49

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Ik gebruikte een gekende stelling (Viete) over de nulpunten van veeltermvergelijkingen.

Voor een vergelijking ax²+bx+c=0 is de som van de oplossing -b/a en het product c/a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 15:52

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Die stelling heb ik nog nooit gezien :)

Maar dan nog, je moet er toch ook geraken via de discriminant?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 15:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Vroeger gaven ze dat in het secundair onderwijs, ik dacht nu nog.
\(\frac{{a + b \pm \sqrt {\left( { - a - b} \right)^2 - 4\left( {a + b - 1} \right)} }}{2} = \frac{{a + b \pm \sqrt {\left( {a + b - 2} \right)^2 } }}{2}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 15:55

mo

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Het is gewoon zo, noem de 2 oplossingen van de vierkantsvergelijking
\(x,y\)
.

Dus weten dat
\(x+y=a+b\)
,
\(xy=a+b-1\)
.

Dus
\(x(1-y)=(1-y)\)
.

De oplossing is dan
\(y=1\)
en
\(x\)
element R.
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 15:59

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Vroeger gaven ze dat in het secundair onderwijs, ik dacht nu nog.
Ik ben even oud als Raintjah en heb die leerstof nog gehad in het 4e, daarna wel nooit meer gebruikt.
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 16:00

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Ik ben even oud als Raintjah en heb die leerstof nog gehad in het 4e, daarna wel nooit meer gebruikt.
Ik heb het toen ook ongeveer gehad. Erg handig voor bepaalde vergelijkingen, zoals deze.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 16:05

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Ik ben even oud als Raintjah en heb die leerstof nog gehad in het 4e, daarna wel nooit meer gebruikt.


Weet ik niets meer van :)

En wat doe je hier mee?
\((a-\lambda)(d-\lambda)-b^2=0=\lambda²-(a+d)\lambda+ad-b²\)


Ik zit dus eigenlijk gewoon de eigenwaarden te zoeken van diagonaliseerbare matrices, maar ik zit hier enorm veel tijd te verliezen met het oplossen van die belachelijke vierkantsvergelijkingen :s

In die hierboven zie ik niet meteen een som-product...
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 14-03-'07, 16:06

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wortels van een tweedegraadsvergelijking

Die oplossingen lijken mij dan ook niet zo elegant te vereenvoudigen.

Uitschrijven met discriminant, maar de wortel zal er nog staan denk ik.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”