6+66+...+66666666666666=?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 436

6+66+...+66666666666666=?

Bepaal de som in functie van
\(n\)
:
\(6+66+...+666...666\)
(De laatste term bestaat uit
\(n\)
zessen.)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 6+66+...+66666666666666=?

Algemene term:
\(u\left( n \right) = 6\frac{{10^n - 1}}{9}\)
Dan de partiële som:
\(\sum\limits_{i = 1}^n {6\frac{{10^i - 1}}{9}} = \frac{6}{9}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {10^i - 1} \right)} = \frac{6}{9}\left( {\frac{{10^{n + 1} }}{9} - \frac{{10}}{9} - n} \right) = \frac{2}{{27}}\left( {10^{n + 1} - 10 - 9n} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: 6+66+...+66666666666666=?

\(6+66+...+666...666 = \frac{6}{9}(9+99+...+999...999) = \frac{2}{3}(10+100+...+1000...000 -n) =\)
\( \frac{2}{3}(\frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot 10 -n)\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 6+66+...+66666666666666=?

\( \frac{2}{3}(\frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot 10 -n)\)
Door die extra vermenigvuldiging met 10 hoeft de exponent maar n te zijn ipv n+1, dan komen onze antwoorden overeen :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: 6+66+...+66666666666666=?

Kijk nog maar eens goed, en constateer dat je er naast zit :wink:

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 6+66+...+66666666666666=?

Kijk nog maar eens goed, en constateer dat je er naast zit :wink:
Misschien zie ik spoken, maar als ik in jouw formule n = 1 invul, krijg ik 218/3.

Als je van die macht n+1 een macht n maakt, en n = 1 invult, krijg je netjes 6.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: 6+66+...+66666666666666=?

Ik heb net hetzelfde als TD, dus Peterpan ...

Re: 6+66+...+66666666666666=?

\( \frac{2}{3}(\frac{10^n-1}{9}\cdot 10 -n)\)
:)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: 6+66+...+66666666666666=?

PeterPan schreef:
\( \frac{2}{3}(\frac{10^n-1}{9}\cdot 10 -n)\)
:)
:)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: 6+66+...+66666666666666=?

Dan maar een nieuw bewijsje. Noem het getal X en de k-de term 6[k].

Haal van elk getal er 6 af en deel door 10:
\(\frac{X-6n}{10} = X - 6[n]\)
Dus
\(X = \frac{6[n]\cdot 10 - 6n}{9}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: 6+66+...+66666666666666=?

Als we met bewijsjes gaan gooien :)

Noem de som
\(S_n\)
, het is makkelijk te vinden dat
\(S_n=10S_{n-1}+6n=10(S_n-666...666)+6n\)
.

Nu hebt ge drek
\(S_n\)
.

Reageer