Pagina 1 van 2
Reeks
Geplaatst: di 20 mar 2007, 23:26
door Westy
In een boek kwam ik hiernet volgende vraag tegen:
bewijs dat:
\(1+2^{-2}+3^{-2}+4^{-2}+... =\frac{\pi}{6}\)
gegeven werd volgende hint: volgende integraal:
\(\int _{C}\frac {cot \pi z}{z^{2}}dz\)
met C een path rond o dat naar
\(\infty\)
gaat;
iemand?
Re: Reeks
Geplaatst: wo 21 mar 2007, 00:00
door Donvanelli
je bedoeld dat er
\(\frac{\pi^{2}}{6}\)
uit komt?
Re: Reeks
Geplaatst: wo 21 mar 2007, 08:20
door PeterPan
Hint: Zoek de eerste twee termen van de Laurentreeksontwikkeling van
\(\cot(\pi z)\)
.
Re: Reeks
Geplaatst: ma 26 mar 2007, 10:32
door Westy
\( \)
\(\pi^{2}/6 \)
, inderdaad.
PeterPan, de reeksontwikkeling van
\(cot \pi z \)
lijkt me niet veel vooruit te helpen:
\( \pi z - \frac{\pi^{3 }z^{3}}{3}+ \frac{\pi^{5}z^{5}}{5}...\)
Kan je me nog wat verder op weg helpen?
En als ik de hint in het boek volg, en de residus wil berekenen van
\( \int_{C} \frac {cot \pi z}{z^{2}}dz\)
dan krijg ik
\( \pi/0 \)
, waarvan ik 0 niet kan wegwerken;
Als ik de integraal zelf probeer uit werken (via parametrisering en afschatten) dan kom ik op 0 uit.
Help?
Re: Reeks
Geplaatst: ma 26 mar 2007, 11:19
door PeterPan
residu berekenen in
\(k\ \ \ k \in \zz\)
\(\frac {\cot \pi z}{z^{2}} = \frac {\cot(\pi(z-k))}{z^{2}} = \frac{\cos(\pi z)}{z^2 \sin(\pi(z-k))}\)
\(\mbox{res}_{z=k} \frac{\cos(\pi z)}{z^2 \sin(\pi(z-k))} = \lim_{z \to k}\frac{(z-k)\cos(\pi z)}{z^2 \sin(\pi(z-k))} = \frac{\cos(\pi k)}{k^2 \pi} = \frac{(-1)^k}{k^2\pi}\)
Re: Reeks
Geplaatst: di 27 mar 2007, 18:08
door Westy
Enkele vragen hieromtrent:
-Als ik het residu wou berekenen van een functie met z^2 in de noemer, ging ik er van uit dat ik volgende formule moest gebruiken (meervoudige pool):
\( \lim_{z\rightarrow k} \frac{d}{dz} ((z-k)^{2} f(z))} \)
Mag ik hier dan zomaar de formule gebruiken voor een pool van de 1ste orde?
\( \lim_{z\rightarrow k} ((z-k) f(z))} \)
-Zelfs met jouw berekening geraak ik niet veel verder als ik het residu moet berekenen in de pool z=0? Want dat was toch wat ik probeerde.
-Mijn uiteindelijke bedoeling was volgende gelijkheid te bewijzen:
\(1+2^{-2}+3^{-2}+4^{-2}+... =\frac{\pi^{2}}{6}\)
aan de hand van volgende integraal
\( \int_{C} \frac {cot \pi z}{z^{2}}dz\)
en daar ben ik nog niet echt mee opgeschoten...
Sorry voor het aandringen, maar ik wou er graag uitgeraken...
Re: Reeks
Geplaatst: di 27 mar 2007, 21:29
door PeterPan
Een residu voor z=a is de coëfficient van
\(\frac{1}{z-a}\)
.
Dus hier geeft de residuenstelling
\(\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_R}\frac {cot \pi z}{z^{2}}dz = \sum_{|k|<R} \frac{(-1)^k}{k^2\pi}\)
Re: Reeks
Geplaatst: wo 28 mar 2007, 08:40
door PeterPan
\(\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_R}\frac {cot \pi z}{z^{2}}dz = \sum_{0<|k|<R}\frac{(-1)^k}{\pi k^2} + \mbox{ res}_{z=0}\frac {cot \pi z}{z^{2}}\)
\(\mbox{ res}_{z=0}\frac {cot \pi z}{z^{2}} = \lim_{z \to 0}z\cot(\pi z)\)
Re: Reeks
Geplaatst: do 29 mar 2007, 19:47
door TD
Interessante link:
Evaluating ζ(2): meer dan 10 manieren om ζ(2) te vinden.
Een methode via de cotangens en residurekening staat er ook tussen
Re: Reeks
Geplaatst: do 05 apr 2007, 14:23
door Westy
Terug van even weggeweest. Bedankt voor de zeer interessante link, ik kende de zeta functie niet echt. Wist ook niet dat wat ik zocht zo'n 'gecelebreerde' identiteit was. Mijn probleem herleidt zich dus nu tot het vinden van de residu's:
\( \sum_{0<|k|<R} \frac {(-1)^{k}}{\pi k^{2}} + res_{z=0} \frac {cot \pi z}{z^{2}}\)
PeterPan, dit volg ik nu. Maar ik geraak van hieruit nog niet naar de oplossing die ik zoek :
-Voor de residu's van z , verschillend van 0, zit ik namelijk in de knoei met de afwisselende - en + tekens;
-en voor het residu voor z=0 :
\(\mbox{ res}_{z=0}\frac {cot \pi z}{z^{2}} = \lim_{z \to 0}z\cot(\pi z)\)
dacht ik dat het
\(\mbox{ res}_{z=0}\frac {cot \pi z}{z^{2}} = \lim_{z \to 0} \frac{\cot(\pi z)}{z} \)
moest zijn...
Kan je mij hier nog wat verder op weg zetten? Ik begrijp dat dit voor jou is dit misschien slaapverwekkend is, maar voor mij is het een probleem; en ik probeer dat gewoon opgelost te krijgen...
Re: Reeks
Geplaatst: do 05 apr 2007, 14:45
door TD
Voor cot(pi.z)/z² is z = 0 een pool van orde 3, voor het residu moet je dus nog twee keer afleiden (en delen door 2).
Of, uit de Laurentreeks van cot(z):
\(\cot z = \frac{1}{z} - \frac{z}{3} + \cdots \)
Volgt het residu van cot(pi.z)/z² in z = 0 uit de coëfficiënt van 1/z, dat geeft -pi/3.
Re: Reeks
Geplaatst: do 05 apr 2007, 16:14
door PeterPan
Geert Van Asbrouck schreef:\(\mbox{ res}_{z=0}\frac {cot \pi z}{z^{2}} = \lim_{z \to 0}z\cot(\pi z)\)
dacht ik dat het
\(\mbox{ res}_{z=0}\frac {cot \pi z}{z^{2}} = \lim_{z \to 0} \frac{\cot(\pi z)}{z} \)
moest zijn...
Beide onjuist!
Je denkt hierbij ongetwijfeld aan een of ander regeltje. Belangrijker dan regeltjes en trucjes is begrijpen wat er achter zit.
Een residu in a is de coëfficient in de Laurentreeks van de term
\(\frac{1}{z-a}\)
In dit geval is
\(\cot z = \frac{1}{z} - \frac{z}{3} + \cdots \)
dan is
\(\frac{\cot(\pi z)}{z^2} = \frac{1}{\pi z^3} -\frac{\pi}{3 z} \cdots\)
dus residu =
\(\frac{-\pi}{3}\)
.
Re: Reeks
Geplaatst: do 05 apr 2007, 16:22
door TD
Dat klopt, maar je schreef eerder (en daar verwees Geert naar):
\(\mbox{ res}_{z=0}\frac {cot \pi z}{z^{2}} = \lim_{z \to 0}z\cot(\pi z)\)
Dat klopt dan toch niet, of mis ik iets?
Re: Reeks
Geplaatst: do 05 apr 2007, 16:25
door PeterPan
Zie mijn antwoord vóór jouw antwoord.
Re: Reeks
Geplaatst: do 05 apr 2007, 16:30
door TD
Je zal duidelijker moeten zijn, ik weet niet wat je bedoelt
??:
Geert reageerde volgens mij op bericht
\(\mbox{ res}_{z=0}\frac {cot \pi z}{z^{2}} = \lim_{z \to 0}z\cot(\pi z)\)
En volgens mij komt dat niet overeen met het residu dat jij en ik net gaven.
Nu vroeg ik me af of ik bovenstaande verkeerd begreep/bereken, of was dat een vergissing?
