Springen naar inhoud

Metrische ruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 maart 2007 - 15:22

In deze opgave is V een metrische ruimte en A een deelverzameling van V.

*Laat B een deelverzameling zijn van V en veronderstel dat A een deelverzameling is van B. Bewijs dat de verzameling van limietpunten van A een deelverzameling is van de verzameling van limietpunten van B.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 maart 2007 - 13:26

Voor alle duidelijkheid: Het woord limietpunt is een ander woord voor verdichtingspunt, wat waarschijnlijk bekender is.

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 24 maart 2007 - 22:28

Zij gegeven een rij punten in A met een limietpunt x. A is een deel van B, dus elk element van A is dus een element van B. Dus een rij in A is een rij in B. Aangezien elke rij hoogstens 1 limietpunt heeft, is het limietpunt van een rij in A hetzelfde als dezelfde rij beschouwd als een rij in B.

Andere redenering.
De verzameling van limietpunten in A is de afsluiting van A.
Als A deel is van B, dan is de afsluiting van A een deel van de afsluiting van B.

Veranderd door PeterPan, 24 maart 2007 - 22:28


#4

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2007 - 08:49

Zij f: V -> R continue en veronderstel dat f(x) is groter of gelijk aan 0 voor alle x in A. Toon aan dat f(x) is groter of gelijk aan 0 voor alle x in de verzameling van limietpunten in A.

Hoe los je zoiets op dan met zo'n functie?

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 maart 2007 - 09:27

Stel LaTeX
met LaTeX een rij punten in A met LaTeX voor alle LaTeX .
Je moet nu aantonen dat LaTeX
Zij LaTeX , dan is er een geheel getal LaTeX zo dat vanwege de coninuiteit van f voor alle LaTeX geldt LaTeX ,
ofwel LaTeX
Blijkbaar is LaTeX voor elke positieve waarde van LaTeX .
Een getal dat groter is dan elk negatief getal is LaTeX
Dus LaTeX

#6

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2007 - 15:25

Oke, dat is heel duidelijk weergegeven. Ik ben bijna klaar met de voorbereiding voor mijn tentamen over dit onderwerp. Uit 2 vragen kwam ik niet helemaal uit. Laat ik die dan nog even stellen. Ze sluitend namelijk aan bij dit onderwerp:

1) Zij f,g: V -> R continu en veronderstel dat f(x) = g(x) voor alle x in A. Toon aan dat f(x) = g(x) voor alle x in de verzameling van limietpunten van A

2) Geef een voorbeeld van een verzameling A in R en een continue functie f: R -> R met f(x) > 0 voor alle x in A, maar niet f(x) > 0 voor alle x in de verzameling van limietenpunten van A.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 maart 2007 - 21:05

Oke, dat is heel duidelijk weergegeven. Ik ben bijna klaar met de voorbereiding voor mijn tentamen over dit onderwerp. Uit 2 vragen kwam ik niet helemaal uit. Laat ik die dan nog even stellen. Ze sluitend namelijk aan bij dit onderwerp:

1) Zij f,g: V -> R continu en veronderstel dat f(x) = g(x) voor alle x in A. Toon aan dat f(x) = g(x) voor alle x in de verzameling van limietpunten van A

2) Geef een voorbeeld van een verzameling A in R en een continue functie f: R -> R met f(x) > 0 voor alle x in A, maar niet f(x) > 0 voor alle x in de verzameling van limietenpunten van A.

1) Stel x is een limietpunt van A. Dan is er een rij LaTeX van elementen van LaTeX waarvoor LaTeX .
We moeten aantonen dat LaTeX .

Vanwege de continuiteit van f én g geldt:
LaTeX en
LaTeX . (***)
Daar LaTeX is voor alle LaTeX en LaTeX voor alle LaTeX geldt dat
LaTeX voor alle LaTeX
Dus kan ik (***) vervangen door
LaTeX
Aangezien elke rij hoogstens 1 limiet heeft geldt dus (daar ook LaTeX ),
dan LaTeX

2) Voorbeeld:
LaTeX , en LaTeX (sommigen schrijven dit als LaTeX )
0 is een limietpunt van LaTeX , want LaTeX en alle breuken LaTeX liggen in LaTeX .
Echter, LaTeX ,
zodat voor het limietpunt 0 niet geldt LaTeX





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures