Differentiaalvergelijkingen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 89
Differentiaalvergelijkingen
Ik ben op dit moment bezig met een klein onderzoek waarbij ik het verschijnsel van de aangedreven gedempte harmonische oscillator onderzoek aan de hand van een electronische schakeling, opgebouwd uit een weerstand, een condensator en een spoel. Hieronder staat de schakeling die we gaan bekijken:
Het gedrag van een dergelijke schakeling kan worden beschreven met behulp van een stelsel differentiaalvergelijkingen. Om te zien hoe dit in z'n werk gaat bekijken we eerst de verschillende componenten afzonderlijk.
1) Bij een weerstand is er een erg eenvoudig verband tussen de stroom I(t) die op tijdstip t door de weerstand loopt en de spanning V(t) over de weerstand; volgens de wet van Ohm geldt: V(t) = I(t) R, waarbij R de weerstand van de weerstand is.
2) Bij een condensator geldt: V(t) C = I(t), waarbij V(t) de spanning over de condensator is, en I(t) de stroom die door de condensator loopt. De constante C is de capaciteit van de condensator.
3) Bij een spoel tenslotte geldt: V(t) = I(t) L, waarbij I(t) en V(t) de stroom door de spoel en de spanning over de spoel aangeven en L staat voor de impedantie van de spoel.
We bekijken nu de schakeling die hierboven is afgebeeld, bestaande uit een weerstand R, en, parallel geschakeld, een condensator met capaciteit C en een spoel met impedantie L. De condensator en de spoel worden geaard, de weerstand wordt aangesloten op een spanningsbron die een spanning V0=V0(t) levert. In het, in de afbeelding aangegeven, knooppunt meet men de spanning V=V(t).
Door de weerstand loopt een stroom I, door de condensator een stroom I1 en door de spoel een stroom I2. Er geldt:
(*1*) I(t) = ( V0(t) - V(t) ) / R
(*2*) I1(t) = V(t) C
(*3*) I2(t) = V(t) / L
(*3*) I(t) = I1(t) + I2(t)
Dit is zo'n beetje het inleidende verhaal. Ik heb een aantal vragen, waar ik niet helemaal uitkom. Ik hoop dat het met behulp van dit forum wel lukt.
vraag 1: Ik wil graag vergelijking (*2*) differentiëren.
vraag 2: Ik wil graag laten zien met behulp van de vergelijkingen (*1*-*4*) dat V(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking:
(d^2)V / dt^2 + (1/(RC)) (dV / dt) + (1/(LC) V = (1/(RC)) (dV0 / dt).
Alvast bedankt!
Het gedrag van een dergelijke schakeling kan worden beschreven met behulp van een stelsel differentiaalvergelijkingen. Om te zien hoe dit in z'n werk gaat bekijken we eerst de verschillende componenten afzonderlijk.
1) Bij een weerstand is er een erg eenvoudig verband tussen de stroom I(t) die op tijdstip t door de weerstand loopt en de spanning V(t) over de weerstand; volgens de wet van Ohm geldt: V(t) = I(t) R, waarbij R de weerstand van de weerstand is.
2) Bij een condensator geldt: V(t) C = I(t), waarbij V(t) de spanning over de condensator is, en I(t) de stroom die door de condensator loopt. De constante C is de capaciteit van de condensator.
3) Bij een spoel tenslotte geldt: V(t) = I(t) L, waarbij I(t) en V(t) de stroom door de spoel en de spanning over de spoel aangeven en L staat voor de impedantie van de spoel.
We bekijken nu de schakeling die hierboven is afgebeeld, bestaande uit een weerstand R, en, parallel geschakeld, een condensator met capaciteit C en een spoel met impedantie L. De condensator en de spoel worden geaard, de weerstand wordt aangesloten op een spanningsbron die een spanning V0=V0(t) levert. In het, in de afbeelding aangegeven, knooppunt meet men de spanning V=V(t).
Door de weerstand loopt een stroom I, door de condensator een stroom I1 en door de spoel een stroom I2. Er geldt:
(*1*) I(t) = ( V0(t) - V(t) ) / R
(*2*) I1(t) = V(t) C
(*3*) I2(t) = V(t) / L
(*3*) I(t) = I1(t) + I2(t)
Dit is zo'n beetje het inleidende verhaal. Ik heb een aantal vragen, waar ik niet helemaal uitkom. Ik hoop dat het met behulp van dit forum wel lukt.
vraag 1: Ik wil graag vergelijking (*2*) differentiëren.
vraag 2: Ik wil graag laten zien met behulp van de vergelijkingen (*1*-*4*) dat V(t) voldoet aan de differentiaalvergelijking:
(d^2)V / dt^2 + (1/(RC)) (dV / dt) + (1/(LC) V = (1/(RC)) (dV0 / dt).
Alvast bedankt!
-
- Berichten: 7.070
Re: Differentiaalvergelijkingen
Nee, voor een condensator geldt:2) Bij een condensator geldt: V(t) C = I(t)
\(V_C(t) = C \frac{dI_C(t)}{dt}\)
Nee, er geldt:Bij een spoel tenslotte geldt: V(t) = I(t) L
\(I_L(t) = L \frac{dV_L(t)}{dt}\)
-
- Berichten: 89
Re: Differentiaalvergelijkingen
In mijn onderzoek gelden de formules, zoals ik die heb genoemd. Die zijn gegeven en daar dien ik dus ook mee te werken. Het gaat hier namelijk om het rekenen met differentiaalvergelijkingen en niet om de werkelijkheid. Kun je evenwel de oplossingen geven?
-
- Berichten: 7.070
Re: Differentiaalvergelijkingen
Je onderzoek bevindt zich niet in dit universum? Laat ik extra duidelijk zijn: de formules die je noemt zijn fout.In mijn onderzoek gelden de formules, zoals ik die heb genoemd.
Dan zou ik bij diegene die ze gegeven heeft eens te raden gaan of dit wel de bedoeling is.Die zijn gegeven
Als dit laatste daadwerkelijk de bedoeling zou zijn, waarom wordt er dan een link gelegd met een bestaande werkelijke situatie terwijl die link niet klopt in werkelijkheid?Het gaat hier namelijk om het rekenen met differentiaalvergelijkingen en niet om de werkelijkheid.
Kan ik doen, maar ga ik 'nu' nog niet doen. Als je namelijk de formules die ik gegeven hebt gebruikt dan kun je namelijk wel aantonen dat het antwoord op vraag 2 klopt (iets dat nu onmogelijk is).Kun je evenwel de oplossingen geven?
-
- Berichten: 89
Re: Differentiaalvergelijkingen
Ik kom er met mijn formules inderdaad niet uit, dus ik ga ervan uit dat de formulus, zoals EvilBro die heeft opgesteld, wel kloppen en ben dus ook benieuwd hoe hij tot de betreffende differentiaalvergelijking komt...
-
- Berichten: 7.070
Re: Differentiaalvergelijkingen
(1)
\(I_R(t) = \frac{V_R}{R} = \frac{V_0(t) - V(t)}{R} = \frac{V_0(t)}{R} - \frac{V(t)}{R}\)
(2) \(I_C(t) = C \frac{dV_C(t)}{dt} = C \frac{dV(t)}{dt}\)
(3) \(V_L(t) = L \frac{dI_L(t)}{dt} \rightarrow\frac{dI_L(t)}{dt} = \frac{V_L(t)}{L} = \frac{V(t)}{L} \)
(4) \(I_R(t) = I_C(t) + I_L(t)\)
Formule 1 en 2 in formule 4 substitueren:\(\frac{V_0(t)}{R} - \frac{V(t)}{R} = C \frac{dV(t)}{dt} + I_L(t)\)
Geheel differentieren naar \(t\). Daarin zal dus de afgeleide van \(I_L\) zitten. Deze vervangen door formule 3. Nu alle V's nog even naar 1 kant schrijven.-
- Berichten: 89
Re: Differentiaalvergelijkingen
Oke, dat is duidelijk! Mooi zo.
We bekijken nu onderstaande schakeling waarin een weerstand, een condensator een spoel in serie zijn geschakeld.
De spoel wordt geaard en de weerstand wordt aangesloten op een spanningsbron met spanning V0 = V0(t). De spanning over de weestand geven we aan met V1-V0 en die over de spoel met V2. Door onze schakeling loopt een stroom I = I(t) en er geldt
(*6*) I(t) = (V0(t)-V1(t)) / R
(*7*) I(t) = (V1(t)-V2(t)) C
(*8*) I(t) = V2(t) / L
De spanningen V1 en V2 voldoen aan een stelsel differentiaalvergelijkingen van de vorm
(*9*) V1(t) = -(R V2(t)) / L) + V0(t)
(*10*) V2(t) = V1(t) + A(V1(t)) - V0(t)
Hoe kan ik met behulp van de stellingen 6-8 de waarde van A bepalen?
We bekijken nu onderstaande schakeling waarin een weerstand, een condensator een spoel in serie zijn geschakeld.
De spoel wordt geaard en de weerstand wordt aangesloten op een spanningsbron met spanning V0 = V0(t). De spanning over de weestand geven we aan met V1-V0 en die over de spoel met V2. Door onze schakeling loopt een stroom I = I(t) en er geldt
(*6*) I(t) = (V0(t)-V1(t)) / R
(*7*) I(t) = (V1(t)-V2(t)) C
(*8*) I(t) = V2(t) / L
De spanningen V1 en V2 voldoen aan een stelsel differentiaalvergelijkingen van de vorm
(*9*) V1(t) = -(R V2(t)) / L) + V0(t)
(*10*) V2(t) = V1(t) + A(V1(t)) - V0(t)
Hoe kan ik met behulp van de stellingen 6-8 de waarde van A bepalen?
-
- Berichten: 7.070
Re: Differentiaalvergelijkingen
Sorry voor de late reactie, maar mijn kabelinternet deed stom. [rr]
Deze formules kloppen (natuurlijk) weer niet. Zoals al eerder gezegd geldt voor een condensator (Ic is de stroom door de condensator en Vc de spanning over de condensator):Physics schreef:(*7*) I(t) = (V1(t)-V2(t)) C
(*8*) I(t) = V2(t) / L
\(I_C = C \frac{dV_C}{dt}\)
en voor een spoel:\(V_L = L \frac{dI_L}{dt}\)
Hoezo 'differentiaalvergelijkingen'? Misschien is het handig als je eerst eens bekijkt wat een differentiaalvergelijking is (bijvoorbeeld hier).De spanningen V1 en V2 voldoen aan een stelsel differentiaalvergelijkingen van de vorm
-
- Berichten: 89
Re: Differentiaalvergelijkingen
Pfff... Ik heb een hele domme fout gemaakt. Sorry voor alle onduidelijkheid. Ik heb de punten boven de symbolen over het hoofd gezien. Die punten staan dus voor de afgeleide Hopelijk kun je nu verder met mijn vraag. Wat dom zeg ('t waren ook zulke kleine lettertjes [rr] )
-
- Berichten: 89
Re: Differentiaalvergelijkingen
Nog even de goede vraag nu :
We bekijken nu onderstaande schakeling waarin een weerstand, een condensator een spoel in serie zijn geschakeld.
De spoel wordt geaard en de weerstand wordt aangesloten op een spanningsbron met spanning V0 = V0(t). De spanning over de weestand geven we aan met V1-V0 en die over de spoel met V2. Door onze schakeling loopt een stroom I = I(t) en er geldt
(*6*) I(t) = (V0(t)-V1(t)) / R
(*7*) I(t) = (V1'(t)-V2'(t)) C
(*8*) I'(t) = V2(t) / L
De spanningen V1 en V2 voldoen aan een stelsel differentiaalvergelijkingen van de vorm
(*9*) V1'(t) = -(R V2(t)) / L) + V0'(t)
(*10*) V2'(t) = V1'(t) + A(V1(t)) - V0(t)
Hoe kan ik met behulp van de stellingen 6-8 de waarde van A bepalen?
We bekijken nu onderstaande schakeling waarin een weerstand, een condensator een spoel in serie zijn geschakeld.
De spoel wordt geaard en de weerstand wordt aangesloten op een spanningsbron met spanning V0 = V0(t). De spanning over de weestand geven we aan met V1-V0 en die over de spoel met V2. Door onze schakeling loopt een stroom I = I(t) en er geldt
(*6*) I(t) = (V0(t)-V1(t)) / R
(*7*) I(t) = (V1'(t)-V2'(t)) C
(*8*) I'(t) = V2(t) / L
De spanningen V1 en V2 voldoen aan een stelsel differentiaalvergelijkingen van de vorm
(*9*) V1'(t) = -(R V2(t)) / L) + V0'(t)
(*10*) V2'(t) = V1'(t) + A(V1(t)) - V0(t)
Hoe kan ik met behulp van de stellingen 6-8 de waarde van A bepalen?
-
- Berichten: 7.070
Re: Differentiaalvergelijkingen
De stroom door de weerstand is gelijk aan de stroom door de condensator.Hoe kan ik met behulp van de stellingen 6-8 de waarde van A bepalen?
-
- Berichten: 89
Re: Differentiaalvergelijkingen
De stroom door de weerstand is gelijk aan de stroom door de condensator.
Ik ben al even aan het rekenen geweest, maar ik begrijp niet hoe je A eruit kunt halen. Er komen zulke ellendig lange antwoorden uit...
-
- Berichten: 7.070
Re: Differentiaalvergelijkingen
Schrijf eens op met welke vergelijking je begint (dan kan ik zien of je op de goede weg zit).Ik ben al even aan het rekenen geweest, maar ik begrijp niet hoe je A eruit kunt halen. Er komen zulke ellendig lange antwoorden uit...
-
- Berichten: 89
Re: Differentiaalvergelijkingen
Tja, als de stroom in beide gevallen gelijk is, moeten die beide vergelijkingen dus aan elkaar gelijk zijn... Maar ik zie het nut daarvan niet in. Verder lijkt het me verstandig om vergelijkingen om te schrijven en in te vullen in (*10*), zodat A overblijft. Maar het probleem is dat er steeds een functie uitkomt die afhankelijk is van t en dat lijkt me geen constante
-
- Berichten: 7.070
Re: Differentiaalvergelijkingen
Welke "beide vergelijkingen"?... die beide vergelijkingen ...