Limiet

Moderators: dirkwb, Xilvo

Limiet

Bereken
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x\sin(\frac{1}{x}))}{x\sin(\frac{1}{x})}\)
Foutje, moet naar Calculus verhuizen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

PeterPan schreef:Bereken
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x\sin(\frac{1}{x}))}{x\sin(\frac{1}{x})}\)
Foutje, moet naar Calculus verhuizen.
Intuïtief niet zo moeilijk. Eerst:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)} \right) = 0\)
Vermits sin(1/x) blijft oscilleren, gaat x.sin(1/x) naar 0.

Rond 0 is sin(a) ongeveer a (Taylor, orde 1), dus:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)} \right)}}{{x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)}} = \frac{{x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)}}{{x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)}} = 1\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Limiet

No

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Limiet niet juist of je bent niet blij met de methode?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Limiet

Je antwoord is niet juist.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Lijkt toch 1.

[graph=-1,1,0.8,1.05]'sin(x*sin(1/x))/(x*sin(1/x))'[/graph]

Met dezelfde observatie als daarnet:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)} \right) = 0\)
Bekom je toch de standaardlimiet sin(a)/a voor a naar 0? Dat is 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Limiet

Het moge vreemd lijken, maar de uitkomst is toch echt niet correct.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Het moge vreemd lijken, maar de uitkomst is niet correct.
Een andere limiet lijkt me nóg vreemder, dus je bedoelt dat de limiet niet bestaat?

Zorgen de oscillaties dan toch voor problemen? Ik dacht dat de factor x dat verhielp.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Limiet

Schrijf de
\(\epsilon - \delta\)
definitie maar eens op. Mogelijk zie je dan waar het probleem zit.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Limiet

gaat het niet zonder
\(\epsilon - \delta\)
? want daar heb ik iets tegen

ik kom anders (ook fout dan) op het zelfde als TD!
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Limiet

volgens mij is ie nul, maar ik kan het niet hard maken
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Re: Limiet

jhnbk schreef:gaat het niet zonder
\(\epsilon - \delta\)
? want daar heb ik iets tegen

ik kom anders (ook fout dan) op het zelfde als TD!
Als de limiet 1 lijkt te zijn, en als ik beweer dat dat niet klopt, dan zul je toch echt terug moeten naar de basics,

en dat is de
\(\epsilon - \delta\)
definitie.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Limiet

uiteraard heb je gelijk, maar 'k ga er niet achter zoeken aangezien
\(\epsilon - \delta\)
te lang geleden is, en mijn cursus niet te vinden. (op het internet vind ik geen duidelijke voorbeelden)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.437

Re: Limiet

Bereken
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x\sin(\frac{1}{x}))}{x\sin(\frac{1}{x})}\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x\sin(\frac{1}{x}))}{x\sin(\frac{1}{x})}=\frac{0}{0}\)


L'Hopital:
\(\frac{d}{dx}\sin(x\sin(\frac{1}{x})) =\cos \left(x\sin\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{\cos(1/x)}{x}+\sin(1/x)\right)\)
en
\(\frac{d}{dx}x\sin(\frac{1}{x}) =-\frac{\cos 1/x}{x}+\sin(1/x)\)


Dus
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x\sin(\frac{1}{x}))}{x\sin(\frac{1}{x})}=\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left(x\sin\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{\cos(1/x)}{x}+\sin(1/x)\right)}{-\frac{\cos 1/x}{x}+\sin(1/x)}\)
\(=\ldots\)
\(=\lim_{x \to 0} \cos(x\sin(1/x))\)
\(=1\)


Wat is er fout?
Never underestimate the predictability of stupidity...

Re: Limiet

De fout is dat je l'Hôpital hier niet mag toepassen.

Reageer