Periodieke oplossingen

Saraatje

ik heb volgend systeem:

\(\[r' = r(1-r)\] \[\Phi '= \sin^2{\Phi}+(1-r)^3\]\)

Het is me gelukt dit om te zetten in een systeem van (x,y), dus met x=rcos(phi) en y=rsin(phi). Maar als ik weet dat een oplossing die op t=0 op de eenheidscirkel begint, op de eenheidscirkel blijft voor all t, weet ik dan zeker dat dit een periodieke oplossing is, of kan dit slechts duiden op een periodieke oplossing? En hoe weet ik dat dan?

PeterPan

Wat is

\(\Phi\)

?

Zo te zien een constante.

Saraatje

\(\Phi\)

is vanuit de poolcoordinaten (de afgeleiden zijn afgeleiden naar t), dus phi is een functie van t.

Als evenwichtspunten krijg je dan (x,y)=(0,0) en (x,y)=(+-1,0). Die laatste is de eenheidscirkel. Als de oplossing op de eenheidscirkel begint, dan blijft ie er ook vanwege dr/dt=0 bij r=1. Wat ik dus niet weet, is of dat voldoende is om te zeggen dat er daadwerkelijk een periodieke oplossing is...

eendavid

is inderdaad onvoldoende. Merk op dat als dit systeem in een evenwichtspunt (1,0) of (-1,0) is, het daar ook blijft (dus niet zoals in een mechanisch probleem, waar het er voorbij kan schieten). Je kan dus nooit de eenheidscirkel doorlopen. Waarschijnlijk krijg je een exponentieel-achtige benadering van 1 van je evenwichtspunten (of van beiden) (maar ik heb het nog niet in detail bekeken)

Saraatje

ja, ik bedacht het me vanochtend ook deels. Als een oplossing op de eenheidscirkel begint, zal hij op een van de evenwichtspunten 'blijven' dus idd nooit de cirkel in zijn geheel doorlopen.

Dankje!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Periodieke oplossingen

Periodieke oplossingen

Re: Periodieke oplossingen

Re: Periodieke oplossingen

Re: Periodieke oplossingen

Re: Periodieke oplossingen