Heel vaak wel. Er geldt de volgende stelling: (makkelijk zelf te bewijzen
)Als
\(f \mbox{ en } \frac{\partial f}{\partial t}: [a,b]\times[c,d] \rightarrow \rr\)
continue functies zijn, dan geldt voor alle \(t\)
met \(c < t < d\)
\(\frac{d}{dt}\int_{a}^{b} f(x,t)\ dx = \int_{a}^{b} \frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\ dx\)
.___________
Vervelender is het als
\(b = \infty\)
Dan moet er nog aan wat extra eisen voldaan zijn):1.)
\(\int_{a}^{\infty} f(x,t)\ dx\)
moet bestaan.2.) Er bestaat een functie
\(R: [a,b] \rightarrow \rr\)
zo dat voor alle \(t \in (c,d)\)
geldt \(\left|\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\right| \leq R(x)\)
en \(\int_{a}^{\infty}R(x)\ dx\)
bestaat.___________
Voortgaand op het voorgaande kunnen we ook kijken wanneer je integralen mag verwisselen.
We veronderstellen dat
\(f\)
continu is op \([a,b]\times[c,d]\)
. (\(b\)
en \(d\)
mogen \(\infty\)
zijn).a.) Als
\(f(x,t) \geq 0\)
voor alle \(x\)
en \(t\)
, dan is\(\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,t)\ dx\ dt = \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(x,t)\ dt\ dx\)
.(We accepteren hier als uitkomst
\(\infty\)
) (Stelling van Tonelli)b.) Als
\(\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}|f(x,t)|\ dx\ dt < \infty\)
dan is\(\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,t)\ dx\ dt = \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(x,t)\ dt\ dx\)
.(Stelling van Fubini).
